複体の圏はアーベル圏

$\mathrm{C}(\mathcal{A})$ は加法圏であり、次が成り立つ。

1. 鎖写像 $f\colon X \to Y$ の核・余核が存在し、次数ごとの核 $\ker f^n$・余核 $\operatorname{Coker} f^n$ に誘導された微分を入れたものとして与えられる。
2. $f$ が $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ で mono（epi、同型）であることと、すべての $n$ で $f^n$ が mono（epi、同型）であることは同値である。
3. $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の mono はその余核の核であり、epi はその核の余核である。余像から像への標準的な射は同型である。したがって $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ はアーベル圏である。
4. $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の列が完全であることと、各次数で $\mathcal{A}$ の列として完全であることは同値である。とくに $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ が短完全列であることと、各 $n$ で $0 \to X'^n \to X^n \to X''^n \to 0$ が短完全列であることは同値である。

$\mathrm{C}^+(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^-(\mathcal{A})$、$\mathrm{C}^b(\mathcal{A})$ も同じ理由でアーベル圏である。