二重複体の二つのスペクトル系列

系 5.1（「スペクトル系列」§5）・ ✓公理まで証明済み

$C$ を、各 $n$ について $p + q = n$ かつ $C^{p,q} \ne 0$ となる $(p,q)$ が有限個である二重複体とする。

列フィルター ${}^{\mathrm I}F^p\operatorname{Tot}(C)^n = \bigoplus_{i \ge p} C^{i, n-i}$ は有界なフィルターで、そのスペクトル系列は

{}^{\mathrm I}E_1^{p,q} = H^q_v(C^{p,\bullet}), \qquad d_1 = H^q_v(d_h), \qquad {}^{\mathrm I}E_2^{p,q} = H^p_h H^q_v(C) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot}(C))

を満たす。 2. 行フィルター ${}^{\mathrm{II}}F^p\operatorname{Tot}(C)^n = \bigoplus_{j \ge p} C^{n-j, j}$ は有界なフィルターで、そのスペクトル系列は

{}^{\mathrm{II}}E_1^{p,q} = H^q_h(C^{\bullet,p}), \qquad {}^{\mathrm{II}}E_2^{p,q} = H^p_v H^q_h(C) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot}(C))

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
- 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
- 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
    核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
    有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
    双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏
    引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
    像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
有界なフィルターの収束✓定理 4.4・スペクトル系列
- 導来対の D は i の合成の像✓補題 4.3・スペクトル系列
  - 導来対✓補題 3.2・スペクトル系列（上で展開済み）
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
フィルター付き複体のスペクトル系列✓定理 4.2・スペクトル系列
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
- 導来対✓補題 3.2・スペクトル系列
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 元（member）定義 6.1・加法圏とアーベル圏
  - 元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 元の同値関係✓補題 6.2・加法圏とアーベル圏
    引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

CE 分解の存在と性質✓命題 3.3・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
超導来関手の二つのスペクトル系列✓定理 4.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

二重複体の二つのスペクトル系列

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件