コホモロジーの核・余核による表示

複体 $X$ と $n$ について、$c^n\colon X^n \to Q^n(X) = \operatorname{Coker} d_X^{n-1}$ とし、$e^n c^n = \bar d^n$ を満たす $e^n\colon Q^n(X) \to Z^{n+1}(X)$ をとる。$k\colon \ker e^n \to Q^n(X)$ を核とする。

1. $c^n \iota^n = k \varphi$ となる $\varphi\colon Z^n(X) \to \ker e^n$ がただ一つあり、$\varphi$ は $\bar d^{n-1}$ の余核である。したがって $\varphi = \theta q^n$ となる同型 $\theta\colon H^n(X) \to \ker e^n$ がある。
2. $q^{n+1}\colon Z^{n+1}(X) \to H^{n+1}(X)$ は $e^n$ の余核である。
3. 鎖写像 $f\colon X \to Y$ は $Q^n(f)$ と $\ker e^n_X \to \ker e^n_Y$ を誘導し、1 の $\theta$ と 2 の同一視はこれらと $H^n(f)$、$H^{n+1}(f)$ に関して可換である。