数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 加法圏とアーベル圏

有限積・有限余積・双積の一致

命題 3.3（「加法圏とアーベル圏」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal C$ を前加法圏とし、 $X_1, \dots, X_n$ を対象とする。

$(B, i_k, p_k)$ が双積なら、 $(B, p_k)$ は $X_1, \dots, X_n$ の積であり、 $(B, i_k)$ は余積である。
$(P, p_k)$ が積なら、 $p_l i_k = \delta_{lk}$ で定まる $i_k\colon X_k \to P$ により $(P, i_k, p_k)$ は双積になる。双対に、余積は双積の構造をただ一通りにもつ。
とくに、対象 $Z$ について「終対象」「始対象」「零対象」「 $1_Z = 0$ 」は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 11 件

加法の一意性✓命題 3.6・加法圏とアーベル圏
加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏
引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
CE 分解の存在と性質✓命題 3.3・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
射影対象の直和と直和因子✓命題 3.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
随伴と完全性✓命題 4.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
完全三角形の直和✓命題 4.3・三角圏とホモトピー圏の三角構造
コホモロジー的関手の核は厚い✓命題 4.7・三角圏とホモトピー圏の三角構造
K(A) は TR1〜TR3 を満たす✓命題 5.4・三角圏とホモトピー圏の三角構造
加法関手は三角関手を誘導する✓命題 5.9・三角圏とホモトピー圏の三角構造

関連するノック 1 問

圏論・ホモロジー代数第 43 問