数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
射影対象の直和と直和因子
をアーベル圏とする。
- 射影対象の族 の余積 が存在すれば、それは射影対象である。
- 射影対象 のレトラクト（ を満たす 、 があるときの ）は射影対象である。とくに が射影的であることと、 と がともに射影的であることは同値である。
双対に、入射対象の族の積は（存在すれば）入射対象であり、入射対象のレトラクトは入射対象である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 4 件
- 入射複体のホモトピー圏と D⁺(A)✓定理 5.3・導来圏と全導来関手
- 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
- CE 分解の存在と性質✓命題 3.3・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
- 入射包の存在と一意性✓定理 8.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏