数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

CE 分解の存在と性質

命題 3.3（「Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもつとし、 $C$ を下に有界な複体とする。CE 分解 $(J, \varepsilon)$ が存在し、次が成り立つ。

$J$ は二重複体で、 $p < p_0$ または $q < 0$ なら $J^{p,q} = 0$ 、各 $J^{p,q}$ は入射対象である。
各 $p$ で $\varepsilon^p\colon C^p \to J^{p,\bullet}$ は $C^p$ の入射分解で、 $d_h \varepsilon^p = \varepsilon^{p+1} d^p$ である。
$\varepsilon$ が定める $C \to \operatorname{Tot}(J)$ （ $C^p \to J^{p,0}$ ）は擬同型で、 $\operatorname{Tot}(J)$ は各項が入射対象の下に有界な複体である。
加法関手 $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ について、各 $q$ の行 $F(J^{\bullet,q})$ の $p$ 次コホモロジーは $F(I_H^{p,q})$ と同型で、この同型は $d_v$ が誘導する射と $F(I_H^p)$ の微分について可換である。すなわち、複体として $H^p_h(F(J)) \cong F(I_H^p)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分解の存在✓命題 2.3・導来関手と δ 関手
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
  - Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
- 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 射影対象の直和と直和因子✓命題 3.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 分解・射影分解・入射分解定義 2.2・導来関手と δ 関手
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手この先をたどる →
射影対象の直和と直和因子✓命題 3.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
- 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏（上で展開済み）
有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
二重複体の二つのスペクトル系列✓系 5.1・スペクトル系列
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 有界なフィルターの収束✓定理 4.4・スペクトル系列この先をたどる →
- フィルター付き複体のスペクトル系列✓定理 4.2・スペクトル系列この先をたどる →
スペクトル系列の比較定理✓命題 4.5・スペクトル系列
- 有界なフィルターの収束✓定理 4.4・スペクトル系列この先をたどる →
- 五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
分裂した行のコホモロジー✓補題 3.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

CE 分解のホモトピーを除く一意性✓命題 3.4・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
超導来関手の二つのスペクトル系列✓定理 4.2・Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー

CE 分解の存在と性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件