Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで

0. この記事の要点

二つの操作を続けて行ったときの結果は、一つずつの操作の結果から、どこまで組み立てられるでしょうか。たとえば群の「動かない元」を、まず正規部分群について、次に残りの商群について取り出す場合を考えます。一度に取り出した場合との違いを測るコホモロジーが、二段階それぞれのコホモロジーから段階的に組み立てられる、という仕組みがあります。この記事ではその仕組み（スペクトル系列）を導き、群のコホモロジーと環上の Ext の計算に使えるようにします。

• 下に有界な複体 $C$ の Cartan–Eilenberg 分解は、各項・各コサイクル・各コバウンダリ・各コホモロジーを同時に入射分解した二重複体です。馬蹄補題（短完全列の両端の入射分解から真ん中の入射分解を作る補題）を 2 回使って作れ、その全複体は $C$ への擬同型を受ける入射的な複体として、ホモトピーを除いて一意です。
• 加法関手 $F$ の超導来関手 $R^nF(C)$ は、Cartan–Eilenberg 分解に $F$ を施した二重複体の全複体のコホモロジーです。二つのスペクトル系列 $H^p(R^qF(C)) \Rightarrow R^{p+q}F(C)$ と $R^pF(H^q(C)) \Rightarrow R^{p+q}F(C)$ があります。
• Grothendieck のスペクトル系列: $F$ が入射対象を $G$ 非輪状な対象（$G$ の高次の導来関手が $0$ になる対象）に写すなら $R^pG(R^qF(X)) \Rightarrow R^{p+q}(G \circ F)(X)$。証明は $C = F(I_X)$ の超導来関手の二つのスペクトル系列を比べるだけです。5 項完全列（スペクトル系列の低い次数の 5 項だけを並べた完全列）がついてきます。
• 群の正規部分群 $N \trianglelefteq G$ について、不変部分の取り方 $(-)^G = (-)^{G/N} \circ (-)^N$ に当てはめると Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列 $H^p(G/N, H^q(N, M)) \Rightarrow H^{p+q}(G, M)$ と、インフレーション–制限完全列の 5 項への延長が得られます。
• 環の準同型 $A \to B$ に当てはめると変化環のスペクトル系列 $\operatorname{Ext}_B^p(M, \operatorname{Ext}_A^q(B, N)) \Rightarrow \operatorname{Ext}_A^{p+q}(M, N)$ が得られます。

この記事で使う事前知識

• 擬同型: コホモロジーの上で同型を与える鎖写像。→ 擬同型
• 入射分解: 対象 $X$ から、入射対象の列へ完全性を保ったまま伸ばしたもの。→ 入射分解
• 二重複体・全複体: 縦横二方向の微分をもつ複体と、それを斜めに足し合わせて一本にした複体。→ 二重複体
• スペクトル系列: コホモロジーを $E_2, E_3, \ldots$ と頁ごとに近似していく道具。→ スペクトル系列
• 左完全: 完全列 $0 \to A \to B \to C$ を完全列に写す関手の性質。→ 左完全
• 不変部分: 群 $G$ の作用で動かない元の集まり $M^G$。→ 不変部分

1. 動機

二つの左完全関手 $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$、$G\colon \mathcal B \to \mathcal C$ の合成 $G \circ F$ の導来関手は、$R^\bullet F$ と $R^\bullet G$ からどう計算できるでしょうか。$X$ の入射分解 $I$ をとると $R^n(GF)(X) = H^n(G(F(I)))$ です。$F(I)$ が $G$ 非輪状な対象からなれば、$G(F(I))$ のコホモロジーは「複体 $F(I)$ に $G$ を導来的に施したもの」と考えられ、それは $F(I)$ のコホモロジー $R^qF(X)$ に $R^pG$ を施したものから組み立てられるはずです。この「複体の導来関手」が超導来関手で、組み立ての誤差を測るのがスペクトル系列です。

このパターンは数学の多くの場面に現れます。代数幾何では、連続写像 $f\colon X \to Y$ と層について $\Gamma(X, -) = \Gamma(Y, -) \circ f_*$ から Leray のスペクトル系列 $H^p(Y, R^qf_*\mathcal F) \Rightarrow H^{p+q}(X, \mathcal F)$ が得られます。群のコホモロジーでは、正規部分群 $N$ について $M^G = (M^N)^{G/N}$ から Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列が得られ、類体論の Galois コホモロジーの計算の基本になります。可換環論では、$\operatorname{Hom}_A(M, N) = \operatorname{Hom}_B(M, \operatorname{Hom}_A(B, N))$ から変化環のスペクトル系列が得られます。

この章では、スペクトル系列の章の二重複体の二つのスペクトル系列（系 5.1［スペクトル系列］）を、Cartan–Eilenberg 分解という特別な二重複体に当てはめます。導来関手の一般論は導来関手と δ 関手の章、群のコホモロジーは群のコホモロジーと群の拡大の章に従います。

2. 準備

以下 $\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C$ はアーベル圏、Hom は小さい集合です。右導来関手 $R^nF$ は 定義 5.1［導来関手と δ 関手］ の意味で、各対象 $X$ に選んだ入射分解を $X \to I_X$ と書きます。

補題 2.1（完全関手との合成）✓

1. 完全関手 $U\colon \mathcal B \to \mathcal B'$ と $\mathcal B$ の複体 $X$ について、$U(H^n(X)) \cong H^n(U(X))$ が $X$ について自然に成り立つ。
2. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ が加法関手、$U\colon \mathcal B \to \mathcal B'$ が完全関手なら、$U \circ R^nF \cong R^n(U \circ F)$ が $X$ について自然に成り立ち、この同型は短完全列の連結射と可換である。

証明（補題 2.1）

1. 完全関手は核と余核を保つので（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (1) とその双対）、$U(\iota^n)$ は $U(d^n)$ の核、$U(\bar d^{n-1})$ は $U(d^{n-1}) = U(\iota^n) U(\bar d^{n-1})$ を満たす射、$U(q^n)$ はその余核です。したがって $U(H^n(X))$ は $H^n(U(X))$ の定義（定義 2.3［鎖複体とホモトピー圏］）を満たし、核・余核の一意性から標準的な同型があります。鎖写像 $f$ についての自然性は、$Z^n(f)$ と $H^n(f)$ が核・余核の普遍性で一意に定まることから従います。

2. $R^n(U \circ F)(X) = H^n(UF(I_X))$、$U(R^nF(X)) = U(H^n(F(I_X)))$ なので、1 により同型で、持ち上げ $\varphi$ について $UF(\varphi) = U(F(\varphi))$ なので $X$ について自然です。連結射は複体の短完全列 $0 \to F(I_{X'}) \xrightarrow{u} F(J_E) \xrightarrow{v} F(I_{X''}) \to 0$（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 2）の連結射で、$U$ はこれを短完全列 $0 \to UF(I_{X'}) \to UF(J_E) \to UF(I_{X''}) \to 0$ に写します。$J_E$ は各次数で双積なので、$F(J_E)$ にも各次数で $v s = 1$ となる $s$ があり、補題 3.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2 により連結射は $d s - s d = u \tau$ で定まる鎖写像 $\tau$ の $H^n(\tau)$ です。$U$ で写すと $U(s)$ は $U(v)$ の切断で、$d\,U(s) - U(s)\,d = U(u) U(\tau)$ なので、写した列の連結射は $H^n(U(\tau))$ です。1 の自然性により、これは $U(H^n(\tau))$ に対応します。

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次の補題は、入射的な複体への射が「ホモトピーを除いて」決まることを保証します。比較定理（定理 3.1［導来関手と δ 関手］）の複体版です。証明では写像錐を使います。$\varepsilon$ が擬同型なら写像錐は非輪状になるので、1 を写像錐に当てはめると、射 $T \to T'$ の存在と一意性が読み取れます。

補題 2.2（非輪状な複体から入射的な複体への射）✓

1. $X$ を下に有界な非輪状な複体、$T$ を各項が入射対象の複体とする。任意の鎖写像 $\Phi\colon X \to T$ は零ホモトピックである。
2. $\varepsilon\colon C \to T$ を擬同型とし、$C$ は下に有界、$T$ と $T'$ は各項が入射対象の下に有界な複体とする。任意の鎖写像 $g\colon C \to T'$ に対し、$h \varepsilon \simeq g$ となる鎖写像 $h\colon T \to T'$ が存在し、$h \varepsilon \simeq h' \varepsilon$ なら $h \simeq h'$ である。

証明（補題 2.2）

1. $n < k$ で $X^n = 0$ とします。$E^n = X^{n+k}$、$I^n = T^{n+k}$（$n \ge 0$）、$I^n = 0$（$n < 0$）とおくと、$X$ は非輪状なので $0 \to 0 \to E^0 \to E^1 \to \cdots$ は完全で（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 1）、$E$ は $0$ の右分解です。$I$ は各項が入射対象の複体で、$\Phi$ と $0$ はどちらも $0\colon 0 \to 0$ の持ち上げ $E \to I$ です。定理 3.1［導来関手と δ 関手］ の 1 により $\Phi^n = d_I h^n + h^{n+1} d_E$ となる $h^n\colon E^n \to I^{n-1}$ があり、$h^0 = 0$ です（$I^{-1} = 0$）。添字を戻すと $h^n\colon X^n \to T^{n-1}$（$n < k$ では $0$）が $T$ の中で $\Phi = dh + hd$ を満たします（$n = k$ では $d_T h^k = 0$ なので $T$ の項 $T^{k-1}$ によらない）。

2. 写像錐 $\operatorname{Cone}(\varepsilon)$（定義 5.1［鎖複体とホモトピー圏］）は、$\varepsilon$ が擬同型なので非輪状で（系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］）、下に有界です。そのシフト $\operatorname{Cone}(\varepsilon)[-1]$（項 $C^n \oplus T^{n-1}$、微分 $(c, t) \mapsto (dc, -\varepsilon c - dt)$）も非輪状です。

存在。 $\Psi(c, t) = g(c)$ は鎖写像 $\operatorname{Cone}(\varepsilon)[-1] \to T'$ です（$\Psi d(c,t) = g\,dc = d g c$）。1 により $\Psi = dK + Kd$ となる $K(c, t) = \kappa(c) + \lambda(t)$（$\kappa\colon C^n \to T'^{n-1}$、$\lambda\colon T^{n-1} \to T'^{n-1}$）があります。$(0, t)$ で比べると $0 = d\lambda t - \lambda d t$、すなわち $\lambda$ は鎖写像 $T \to T'$ です。$(c, 0)$ で比べると $g c = d\kappa c + \kappa dc - \lambda \varepsilon c$ なので、$h = -\lambda$ とおけば $h\varepsilon - g = -(d\kappa + \kappa d)$、すなわち $h \varepsilon \simeq g$ です。

一意性。 $h'' = h - h'$ とおくと $h'' \varepsilon \simeq 0$ です（命題 4.4［鎖複体とホモトピー圏］ の 1）。$h'' \varepsilon = d\sigma + \sigma d$ とし、$\Phi(c, t) = \sigma(c) + h''(t)$ を $\operatorname{Cone}(\varepsilon)^n = C^{n+1} \oplus T^n$ から $T'^n$ への射とすると、$d\Phi(c,t) = d\sigma c + d h'' t$、$\Phi(d(c,t)) = \Phi(-dc, \varepsilon c + dt) = -\sigma dc + h''\varepsilon c + h'' dt$ で、両者は等しいので $\Phi$ は鎖写像です。1 により $\Phi = dK + Kd$、$K(c, t) = \kappa(c) + \lambda(t)$ と書け、$(0, t)$ で比べると $h'' t = d\lambda t + \lambda dt$ なので $h'' \simeq 0$ です。

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3. Cartan–Eilenberg 分解

$C$ を $\mathcal A$ の複体とし、$n < p_0$ で $C^n = 0$ とします。$\iota^p\colon Z^p \to C^p$ を $d^p$ の核、$\bar d^p\colon C^p \to Z^{p+1}$ を $d^p = \iota^{p+1} \bar d^p$ で定まる射とし、$\bar d^p = \beta^{p+1} e^p$（$e^p\colon C^p \to B^{p+1}$ は epi、$\beta^{p+1}\colon B^{p+1} \to Z^{p+1}$ は mono）と像分解します。$H^p = H^p(C)$ は $\bar d^{p-1}$ の余核で、$e^{p-1}$ は epi なので $\beta^p$ の余核 $q^p\colon Z^p \to H^p$ でもあります。$e^p$ の核は $\bar d^p$ の核、すなわち $\iota^p$ です（$\beta^{p+1}$、$\iota^{p+1}$ は mono）。したがって短完全列

$$(\mathrm{S1}_p)\colon 0 \to B^p \xrightarrow{\beta^p} Z^p \xrightarrow{q^p} H^p \to 0, \qquad (\mathrm{S2}_p)\colon 0 \to Z^p \xrightarrow{\iota^p} C^p \xrightarrow{e^p} B^{p+1} \to 0$$

があり（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1、定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 2、補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）、$d^p = \iota^{p+1} \beta^{p+1} e^p$ です。

次の定義のねらいは、各項 $C^p$ の入射分解を、コサイクル $Z^p$・コバウンダリ $B^p$・コホモロジー $H^p$ の入射分解と整合するように選んで二重複体にすることです。短完全列 $(\mathrm{S1}_p)$、$(\mathrm{S2}_p)$ に沿って $C^p$ を $Z^p$ と $B^{p+1}$ に、$Z^p$ を $B^p$ と $H^p$ に切り分けるので、分解の各項は $B$ の分解の部品、$H$ の分解の部品、次の $B$ の分解の部品という三つの部品の直和になります。

定義 3.1（Cartan–Eilenberg 分解）↗

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもつとし、$C$ を上のとおりとする。各 $p$ について $B^p$ と $H^p$ の入射分解 $I_B^p$、$I_H^p$ をとり（$p \le p_0$ では $B^p = 0$、$p < p_0$ では $H^p = 0$ で、零の分解をとる）、$(\mathrm{S1}_p)$ に 補題 3.3［導来関手と δ 関手］ を使って $Z^p$ の入射分解 $I_Z^p$（$I_Z^{p,q} = I_B^{p,q} \oplus I_H^{p,q}$）を作り、さらに $(\mathrm{S2}_p)$ に使って $C^p$ の入射分解 $I_C^p$（$I_C^{p,q} = I_Z^{p,q} \oplus I_B^{p+1,q}$）を作る。$J^{p,q} = I_C^{p,q}$、$d_v$ を $I_C^p$ の微分、

$$d_h\colon J^{p,q} = I_Z^{p,q} \oplus I_B^{p+1,q} \xrightarrow{\text{射影}} I_B^{p+1,q} \xrightarrow{\text{包含}} I_Z^{p+1,q} \xrightarrow{\text{包含}} I_C^{p+1,q} = J^{p+1,q}$$

（馬蹄補題の射影と包含の合成）、$\varepsilon^p\colon C^p \to J^{p,0}$ を $I_C^p$ の増強とする。この二重複体 $J$ と $\varepsilon$ を $C$ の Cartan–Eilenberg 分解（CE 分解）という。

なぜ各項 $C^p$ だけでなく $B^p$、$Z^p$、$H^p$ まで分解するのかを説明しておきます。各項を別々に入射分解して横の射を比較定理で持ち上げるだけでも、列が分解になっている二重複体は作れます。しかしそれでは、横の微分で見たコホモロジーが $C$ のコホモロジーとどう関係するかが制御できません。CE 分解では、コバウンダリとコサイクルの分解を馬蹄補題で順に積み上げるので、各行が「コバウンダリの部分、コホモロジーの部分、次のコバウンダリの部分」に直和分解し、加法関手で写したあとも行のコホモロジーが $F(I_H)$ のまま残ります。これが第二のスペクトル系列の $E_2$ 項を $R^pF(H^q(C))$ にする仕組みです。

Cartan–Eilenberg 分解の格子。各列は C^p の入射分解（縦の矢印が d_v）で、各項は三つの部品 B^p、H^p、B^(p+1) の直和。横の矢印 d_h は、右端の部品 B^(p+1) を次の列の左端の部品へ送る。

CE 分解の行は、次の形の「分裂した」複体です。具体的には、各項が三つの部品 $U^p, V^p, U^{p+1}$ の双積（直和）に分かれていて、微分が「最後の部品を次の項の最初の部品へ送る」だけの複体です。加法関手を施してもこの形が崩れないことが、次の補題の使い道です。

補題 3.2（分裂した行のコホモロジー）✓

$\mathcal B$ をアーベル圏とし、各 $p$ について双積 $W^p = Y^p \oplus U^{p+1}$（包含 $a^p$、射影 $b^p\colon W^p \to U^{p+1}$）と $Y^p = U^p \oplus V^p$（包含 $c^p\colon U^p \to Y^p$、射影 $\pi^p\colon Y^p \to V^p$）が与えられているとする。$d^p = a^{p+1} c^{p+1} b^p\colon W^p \to W^{p+1}$ とおくと、$W$ は複体で、$H^p(W)$ は $\pi^p$ を通して $V^p$ と同型である。すなわち $d^p$ の核は $a^p\colon Y^p \to W^p$ で、$\pi^p\colon Z^p(W) = Y^p \to V^p$ が $H^p(W)$ への射影を与える。加法関手 $F$ で写した $F(W)$ も同じ形をしているので、$H^p(F(W)) \cong F(V^p)$ である。

証明（補題 3.2）

$b^{p+1} a^{p+1} = 0$（双積の等式）から $d^{p+1} d^p = 0$ です。$a^{p+1} c^{p+1}$ は mono の合成で mono なので $\ker d^p = \ker b^p$ で、補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 4 によりこれは $a^p$ です。したがって $Z^p(W) = Y^p$ で、$d^{p-1} = a^p (c^p b^{p-1})$ から $\bar d^{p-1} = c^p b^{p-1}$ です。$b^{p-1}$ は epi なので $\operatorname{Coker} \bar d^{p-1} = \operatorname{Coker} c^p$ で、同じ補題の 4 によりこれは $\pi^p$ です。加法関手は双積と双積の等式を保つので（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）、$F(W)$ に同じ議論が使えます。

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命題 3.3（CE 分解の存在と性質）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもつとし、$C$ を下に有界な複体とする。CE 分解 $(J, \varepsilon)$ が存在し、次が成り立つ。

1. $J$ は二重複体で、$p < p_0$ または $q < 0$ なら $J^{p,q} = 0$、各 $J^{p,q}$ は入射対象である。
2. 各 $p$ で $\varepsilon^p\colon C^p \to J^{p,\bullet}$ は $C^p$ の入射分解で、$d_h \varepsilon^p = \varepsilon^{p+1} d^p$ である。
3. $\varepsilon$ が定める $C \to \operatorname{Tot}(J)$（$C^p \to J^{p,0}$）は擬同型で、$\operatorname{Tot}(J)$ は各項が入射対象の下に有界な複体である。
4. 加法関手 $F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ について、各 $q$ の行 $F(J^{\bullet,q})$ の $p$ 次コホモロジーは $F(I_H^{p,q})$ と同型で、この同型は $d_v$ が誘導する射と $F(I_H^p)$ の微分について可換である。すなわち、複体として $H^p_h(F(J)) \cong F(I_H^p)$ である。

証明（命題 3.3）

存在は、命題 2.3［導来関手と δ 関手］ と 補題 3.3［導来関手と δ 関手］ から定義どおりに作れることです。

1. 馬蹄補題の包含と射影は鎖写像なので、その合成 $d_h$ は $d_v$ と可換です。$d_h d_h$ は途中に馬蹄補題の包含 $I_Z^{p+1} \to I_C^{p+1}$ と射影 $I_C^{p+1} \to I_B^{p+2}$ の合成 $0$ を含むので $0$ です。入射対象の双積は入射対象です（命題 3.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の双対の主張と 命題 3.3［加法圏とアーベル圏］ の (1)）。

2. 前半は馬蹄補題の主張です。後半: 馬蹄補題により、射影 $I_C^p \to I_B^{p+1}$ は $e^p$ の、包含 $I_B^{p+1} \to I_Z^{p+1}$ は $\beta^{p+1}$ の、包含 $I_Z^{p+1} \to I_C^{p+1}$ は $\iota^{p+1}$ の持ち上げで、増強と可換です。よって $d_h \varepsilon^p = \varepsilon^{p+1} \iota^{p+1} \beta^{p+1} e^p = \varepsilon^{p+1} d^p$ です。

3. $d_v \varepsilon = 0$ と 2 から、全複体の微分 $d_h + (-1)^p d_v$ について $\varepsilon$ は鎖写像です。$C$ に $F^pC^n = C^n$（$n \ge p$）、$F^pC^n = 0$（$n < p$）のフィルターを、$\operatorname{Tot}(J)$ に列フィルターを入れると、$\varepsilon$ はフィルター付き複体の射で、どちらのフィルターも有界です。$C$ のスペクトル系列は $\operatorname{gr}^pC$ が次数 $p$ の $C^p$ だけなので $E_1^{p,0} = C^p$、それ以外は $0$ です。$\operatorname{Tot}(J)$ のスペクトル系列は 系 5.1［スペクトル系列］ の 1 により $E_1^{p,q} = H^q_v(J^{p,\bullet})$ で、列は $C^p$ の分解なので $q = 0$ で $\ker(J^{p,0} \to J^{p,1}) \cong C^p$（$\varepsilon^p$ による）、$q > 0$ で $0$ です。$E_1(\varepsilon)$ はこの同一視で $C^p$ の恒等射なので同型で、命題 4.5［スペクトル系列］ により $\varepsilon$ は擬同型です。$\operatorname{Tot}(J)^n = \bigoplus_{p+q=n} J^{p,q}$ は $p_0 \le p \le n$ の有限個の入射対象の双積で、$n < p_0$ では $0$ です。

4. $J^{p,q} = (I_B^{p,q} \oplus I_H^{p,q}) \oplus I_B^{p+1,q}$ で、$d_h$ は射影 $J^{p,q} \to I_B^{p+1,q}$ のあと $I_B^{p+1,q}$ を $J^{p+1,q}$ の第 1 の直和因子に入れる射なので、行は 補題 3.2 の形（$Y^p = I_Z^{p,q}$、$U^p = I_B^{p,q}$、$V^p = I_H^{p,q}$）です。よって $H^p(F(J^{\bullet,q})) \cong F(I_H^{p,q})$ で、同型は $F$ で写した包含 $I_Z^{p,q} \to J^{p,q}$ と射影 $I_Z^{p,q} \to I_H^{p,q}$ で与えられます。この二つは $q$ について鎖写像（馬蹄補題）なので、$d_v$ が誘導する $H^p_h$ の射は $F(I_H^p)$ の微分に対応します。

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命題 3.4（CE 分解のホモトピーを除く一意性）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもつとする。$C, C'$ を下に有界な複体、$(J, \varepsilon)$、$(J', \varepsilon')$ をそれらの CE 分解、$f\colon C \to C'$ を鎖写像とする。

1. 鎖写像 $\tilde f\colon \operatorname{Tot}(J) \to \operatorname{Tot}(J')$ で $\tilde f \varepsilon \simeq \varepsilon' f$ となるものがあり、ホモトピーを除いて一意である。
2. $C = C'$、$f = 1_C$ なら、$\tilde f$ はホモトピー同値である。

証明（命題 3.4）

命題 3.3 の 3 により、$\varepsilon$ は擬同型で $\operatorname{Tot}(J)$、$\operatorname{Tot}(J')$ は入射対象からなる下に有界な複体です。1 は 補題 2.2 の 2 を $g = \varepsilon' f$ に使ったものです。2: $f = 1$ の $\tilde f\colon \operatorname{Tot}(J) \to \operatorname{Tot}(J')$ と逆向きの $\tilde f'$ をとると、$\tilde f' \tilde f \varepsilon \simeq \tilde f' \varepsilon' \simeq \varepsilon = 1 \cdot \varepsilon$ なので（ホモトピーは合成と両立する。命題 4.4［鎖複体とホモトピー圏］ の 1）、補題 2.2 の 2 の一意性から $\tilde f' \tilde f \simeq 1$ です。$\tilde f \tilde f' \simeq 1$ も同様です。

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一意性が全複体の水準でしか述べられていないことに注意してください。二重複体の水準で CE 分解の射を作り、二つの射の間に「二重のホモトピー」を作ることもできますが、超導来関手とそのスペクトル系列の構成には、全複体のホモトピー類が一意であれば十分です。この節の議論は、導来圏の章で「下に有界な入射的な複体は擬同型を同型とみなした圏の対象をよく代表する」という形に一般化されます。

CE 分解の要点は、列が $C$ の各項の入射分解であるだけでなく、行のコホモロジーが $H^p(C)$ の入射分解になっている（命題 3.3 の 4）ことです。前者が第一のスペクトル系列を、後者が第二のスペクトル系列を計算可能にします。

4. 超導来関手

定義 4.1（超導来関手・超コホモロジー）↗

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を加法関手とする。下に有界な複体 $C$ ごとに CE 分解 $(J_C, \varepsilon_C)$ を一つ選び、

$$R^nF(C) = H^n\bigl(\operatorname{Tot}(F(J_C))\bigr)$$

と定め、$F$ の超導来関手（$F$ が大域切断などのとき超コホモロジー）という。ここで $F(J_C)$ は $J_C$ の各項と $d_h, d_v$ に $F$ を施した二重複体で、$F$ は有限個の双積を保つので $\operatorname{Tot}(F(J_C)) = F(\operatorname{Tot}(J_C))$ である。鎖写像 $f\colon C \to C'$ には、命題 3.4 の 1 の $\tilde f$ をとり $R^nF(f) = H^n(F(\tilde f))$ と定める。

$\tilde f$ はホモトピーを除いて一意で、加法関手はホモトピーを保つので、$R^nF(f)$ は $\tilde f$ の選び方によりません（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2）。$\widetilde{gf}$ として $\tilde g \tilde f$ がとれるので（補題 2.2 の 2 の一意性）、$R^nF$ は関手です。

$X$ を次数 $0$ に置いた複体では、$B^p = 0$、$H^0 = X$ なので CE 分解は第 $0$ 列だけで、それは $X$ の入射分解です。したがって $R^nF(X)$（複体としての）は $X$ の導来関手 $R^nF(X)$ と標準的に同型です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 1）。また $f$ が擬同型なら $R^nF(f)$ は同型です。実際 $H(\tilde f) H(\varepsilon_C) = H(\varepsilon_{C'}) H(f)$ から $\tilde f$ は擬同型で、補題 2.2 の 2 を $\tilde f$ 自身に使うと $h \tilde f \simeq 1$ となる $h$ があり、$(\tilde f h - 1) \tilde f \simeq 0$ から同じ補題の一意性で $\tilde f h \simeq 1$ です。ホモトピー同値は $F$ で写してもホモトピー同値です。超導来関手は「擬同型を同型とみなした複体」の関手で、この見方は導来圏の章で全導来関手として定式化されます。

次の定理の記号について整理しておきます。${}^{\mathrm I}E$ は列（$C$ の各項 $C^p$）を先に処理するスペクトル系列、${}^{\mathrm{II}}E$ は行（コホモロジー $H^q(C)$）を先に処理するスペクトル系列です。$E_1$ は微分 $d_1$ をとる前の頁、$E_2$ はそのコホモロジー、$\Rightarrow$ の右側は最終的に収束する先を表します。

定理 4.2（超導来関手の二つのスペクトル系列）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は加法関手、$C$ は下に有界な複体とする。$R^nF(C)$ に収束する二つの有界なスペクトル系列

$${}^{\mathrm I}E_1^{p,q} = R^qF(C^p), \qquad {}^{\mathrm I}E_2^{p,q} = H^p\bigl(R^qF(C^\bullet)\bigr) \Rightarrow R^{p+q}F(C),$$$${}^{\mathrm{II}}E_2^{p,q} = R^pF\bigl(H^q(C)\bigr) \Rightarrow R^{p+q}F(C)$$

がある。ここで $H^p(R^qF(C^\bullet))$ は複体 $(R^qF(C^p), R^qF(d^p))_p$ の $p$ 次コホモロジーである。

証明（定理 4.2）

$J = J_C$ とします。$F(J)$ は $p < p_0$ または $q < 0$ で $0$ の二重複体なので反対角線は有限で、系 5.1［スペクトル系列］ の二つのスペクトル系列が $H^n(\operatorname{Tot}(F(J))) = R^nF(C)$ に収束します。

第一のスペクトル系列。 ${}^{\mathrm I}E_1^{p,q} = H^q_v(F(J^{p,\bullet}))$ です。$J^{p,\bullet}$ は $C^p$ の入射分解なので（命題 3.3 の 2）、定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 1 の同型 $c\colon H^q(F(J^{p,\bullet})) \cong R^qF(C^p)$ があります。$d_1 = H^q_v(F(d_h))$ で、$d_h\colon J^{p,\bullet} \to J^{p+1,\bullet}$ は $d^p$ の持ち上げなので（命題 3.3 の 2）、同じ定理の 1 の後半により $c\, H^q(F(d_h)) = R^qF(d^p)\, c$ です。よって $(E_1^{\bullet,q}, d_1)$ は複体 $(R^qF(C^p), R^qF(d^p))$ と同型で、$E_2$ はそのコホモロジーです。

第二のスペクトル系列。 ${}^{\mathrm{II}}E_2^{p,q} = H^p_v H^q_h(F(J))$ です。命題 3.3 の 4 により、$q$ 次の横のコホモロジーがなす縦の複体 $H^q_h(F(J))$ は $F(I_H^q)$ と同型です。$I_H^q$ は $H^q(C)$ の入射分解なので、その $p$ 次コホモロジーは $R^pF(H^q(C))$ と同型です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 1）。

∎

例 4.3（コホモロジーが一つの次数に集中する複体）

下に有界な複体 $C$ で、$q \ne m$ なら $H^q(C) = 0$ とします。第二のスペクトル系列の $E_2$ 項は 1 行 $q = m$ に集中し、$d_r$（$r \ge 2$）は行を変えるのですべて $0$ で、各反対角線に非零の項は一つだけです。したがって

$$R^nF(C) \cong R^{n-m}F\bigl(H^m(C)\bigr)$$

です。これは、切り詰め（定義 6.1［鎖複体とホモトピー圏］）による擬同型 $\tau^{\le m}C \to C$ と $\tau^{\le m}C \to H^m(C)[-m]$ を通して $C$ が $H^m(C)$ を次数 $m$ に置いた複体と擬同型であることと、擬同型が超導来関手の同型を与えることの言い換えです。たとえば $F$ が左完全で、$C$ が $X$ の $F$ 非輪状分解なら $m = 0$ で、第一のスペクトル系列は 1 行 $q = 0$ に集中して $R^nF(C) \cong H^n(F(C))$ となり、定理 5.6［導来関手と δ 関手］ がもう一度得られます。

5. Grothendieck のスペクトル系列

この定理の中身は、関手 $F$ の導来関手が作る複体に $G$ を導来的に施し、その結果を二通りに読むことです。

定理 5.1（Grothendieck のスペクトル系列）✓

$\mathcal A, \mathcal B$ は十分に入射対象をもつアーベル圏、$\mathcal C$ はアーベル圏、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は加法関手、$G\colon \mathcal B \to \mathcal C$ は左完全関手とし、$F$ は入射対象を $G$ 非輪状な対象（定義 5.4［導来関手と δ 関手］）に写すとする。このとき各対象 $X$ について、第一象限の有界なスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = R^pG\bigl(R^qF(X)\bigr) \Rightarrow R^{p+q}(G \circ F)(X)$$

がある。

証明（定理 5.1）

$C = F(I_X)$ を $\mathcal B$ の複体とします（$n < 0$ で $C^n = 0$）。定義により $H^q(C) = R^qF(X)$ です。$C$ の CE 分解をとり、$G$ について 定理 4.2 を使います。

第一のスペクトル系列は ${}^{\mathrm I}E_1^{p,q} = R^qG(F(I_X^p))$ です。仮定により $F(I_X^p)$ は $G$ 非輪状なので $q > 0$ で $0$ で、$q = 0$ では 定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3 の自然同型 $R^0G \cong G$ により、$E_1^{\bullet,0}$ は複体 $G(F(I_X))$ と同型です。よって $E_2^{p,q}$ は 1 行 $q = 0$ に集中し、$E_2^{p,0} \cong H^p(GF(I_X)) = R^p(GF)(X)$ です。命題 6.2［スペクトル系列］ の 1 により $R^nG(C) \cong R^n(GF)(X)$ です。

第二のスペクトル系列は $E_2^{p,q} = R^pG(H^q(C)) = R^pG(R^qF(X))$ で、$R^nG(C) \cong R^n(GF)(X)$ に収束します。$p < 0$ や $q < 0$ では $E_2^{p,q} = 0$ です。

∎

系 5.2（Grothendieck のスペクトル系列の 5 項完全列）✓

定理 5.1 の状況で、さらに $F$ が左完全なら、完全列

$$0 \to R^1G(FX) \to R^1(GF)(X) \to G\bigl(R^1F(X)\bigr) \to R^2G(FX) \to R^2(GF)(X)$$

がある。

証明（系 5.2）

命題 6.1［スペクトル系列］ の 3 を 定理 5.1 のスペクトル系列に使います。$E_2^{1,0} = R^1G(R^0F(X))$、$E_2^{2,0} = R^2G(R^0F(X))$ で、$F$ は左完全なので $R^0F(X) \cong F(X)$ です。$E_2^{0,1} = R^0G(R^1F(X)) \cong G(R^1F(X))$ です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3）。

∎

定理の証明の構造は単純です。一つの二重複体の二つのスペクトル系列のうち、一方は仮定によって 1 行に退化し、収束先が $R^n(GF)(X)$ であることを教えます。もう一方は退化せず、その $E_2$ 項が導来関手の合成 $R^pG \circ R^qF$ です。収束先が同じなので、$E_2$ 項から $R^n(GF)$ への「近似の列」が得られる、というわけです。導来圏の言葉では、この定理は全導来関手の合成公式（命題 6.5［導来圏と全導来関手］）をコホモロジーで読んだものにあたります（この章の証明はそれを使いません）。

代数幾何では、連続写像 $f\colon X \to Y$ と Abel 群の層の圏について、順像 $f_*$ は入射的な層を脆弱な層、したがって大域切断 $\Gamma(Y, -)$ について非輪状な層に写し、$\Gamma(X, -) = \Gamma(Y, -) \circ f_*$ なので、この定理から Leray のスペクトル系列（$X$ のコホモロジーを、$Y$ のコホモロジーと $R^qf_*$ から組み立てる式）$H^p(Y, R^qf_*\mathcal F) \Rightarrow H^{p+q}(X, \mathcal F)$ が得られます（層の圏が十分に入射対象をもつことと脆弱層の性質は、代数幾何の章で示すことになります）。

仮定「$F$ は入射対象を $G$ 非輪状な対象に写す」は、実際には「$F$ が完全な左随伴をもつ」ことから確かめることが多いです。そのとき $F$ は入射対象を入射対象に写し（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1）、入射対象は $G$ 非輪状です。以下の二つの応用はどちらもこの形です。

まず、環の準同型に沿った随伴を確かめます。

補題 5.3（係数の制限と Hom の随伴）✓

$\rho\colon A \to B$ を可換環の準同型、$\rho_*\colon \mathsf{Mod}_B \to \mathsf{Mod}_A$ を係数の制限とする。$A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Hom}_A(B, N)$ を $(b\varphi)(b') = \varphi(b'b)$ で $B$ 加群とみなすと、$B$ 加群 $M$ と $A$ 加群 $N$ について両変数に自然な全単射

$$\operatorname{Hom}_B\bigl(M, \operatorname{Hom}_A(B, N)\bigr) \cong \operatorname{Hom}_A(\rho_*M, N), \qquad g \mapsto \bigl(m \mapsto g(m)(1)\bigr)$$

がある。すなわち $\rho_* \dashv \operatorname{Hom}_A(B, -)$ である。

証明（補題 5.3）

$(b(b''\varphi))(b') = (b''\varphi)(b'b) = \varphi(b'bb'')$ なので作用は結合的で、$\operatorname{Hom}_A(B, N)$ は $B$ 加群です。$g$ が $B$ 線形なら、$f(m) = g(m)(1)$ は $f(am) = g(\rho(a)m)(1) = (\rho(a) g(m))(1) = g(m)(\rho(a)) = a\, g(m)(1)$ なので $A$ 線形です。逆に $A$ 線形な $f\colon \rho_*M \to N$ に $g(m)(b) = f(bm)$ を対応させると、$g(m)$ は $A$ 線形で、$g(b_0 m)(b) = f(b b_0 m) = g(m)(b b_0) = (b_0 g(m))(b)$ なので $g$ は $B$ 線形です。$g(m)(b) = g(bm)(1)$（$g$ の $B$ 線形性）から二つの対応は互いに逆です。$M$ の準同型との合成、$N$ の準同型との合成と可換なことは式から直ちにわかります。

∎

定理 5.4（変化環のスペクトル系列）✓

$\rho\colon A \to B$ を可換環の準同型、$M$ を $B$ 加群、$N$ を $A$ 加群とする。$\operatorname{Ext}_A^q(B, N)$ には $B$ 加群の構造が定まり、第一象限のスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = \operatorname{Ext}_B^p\bigl(M, \operatorname{Ext}_A^q(B, N)\bigr) \Rightarrow \operatorname{Ext}_A^{p+q}(\rho_*M, N)$$

がある。

証明（定理 5.4）

$\mathsf{Mod}_A$、$\mathsf{Mod}_B$ は十分に入射対象をもつアーベル圏です（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。$F = \operatorname{Hom}_A(B, -)\colon \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_B$ は 補題 5.3 により完全な関手 $\rho_*$（台の加群と写像を変えない）の右随伴なので、左完全で（命題 4.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2）、入射対象を入射対象に写し（命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1）、入射対象は $G = \operatorname{Hom}_B(M, -)$ 非輪状です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3）。$G$ は左完全です（命題 5.5［加法圏とアーベル圏］）。定理 5.1 により $R^pG(R^qF(N)) \Rightarrow R^{p+q}(GF)(N)$ です。

左辺: $R^pG = \operatorname{Ext}^p_B(M, -)$ です（定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1）。$R^qF(N)$ は $B$ 加群で、補題 2.1 の 2 により $\rho_* R^qF(N) \cong R^q(\rho_* F)(N)$、$\rho_* F = \operatorname{Hom}_A(B, -)\colon \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_A$ なので、これは $\operatorname{Ext}_A^q(B, N)$ です。この同型で $\operatorname{Ext}_A^q(B, N)$ に $B$ 加群の構造を入れます。

右辺: $G' = \operatorname{Hom}_A(\rho_*M, -)$ とおくと、補題 5.3 により $GF = \operatorname{Hom}_B(M, \operatorname{Hom}_A(B, -))$ と $G'$ の間に $N$ について自然な同型 $\theta\colon GF \cong G'$ があります。$\theta$ は入射分解の上で複体の同型 $\theta_{I_N}$ を与えるので、$R^n(GF)(N) \cong R^n G'(N) = \operatorname{Ext}_A^n(\rho_*M, N)$ です。

∎

たとえば $B = A/(x)$（$x$ は零因子でない元）なら $\operatorname{Ext}_A^q(B, N)$ は $q = 0, 1$ 以外では $0$ になり、スペクトル系列は 2 行になって長完全列を与えます（演習 7.2）。

6. Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列

群 $G$ の $G$ 加群と群のコホモロジー $H^n(G, M)$ は群のコホモロジーと群の拡大の章（定義 2.2［群のコホモロジーと群の拡大］、定義 3.3［群のコホモロジーと群の拡大］）の意味です。そこでは $H^n(G, M)$ を $\mathbb Z$ の射影分解で定義しました。まず、これが不変部分 $(-)^G$ の右導来関手であることを確かめます。

$G$ 加群は、対象が 1 つで射の集合が $G$ である圏 $BG$ から $\mathsf{Ab}$ への関手と同じもので（「群が作用する Abel 群」の言い換えにすぎません。関手の条件 $F(gh) = F(g)F(h)$、$F(1) = 1$ が作用の条件、自然変換の条件が $G$ 準同型の条件）、$\mathsf{Mod}_G$ は関手圏 $[BG, \mathsf{Ab}]$ と同型な圏です。$BG$ は小さい圏です。正規部分群 $N \trianglelefteq G$ について、$G/N$ 加群 $A$ に $ga = (gN)a$ で $G$ の作用を入れたものを $\inf A$ と書きます（インフレーション）。$\inf$ は台の Abel 群と写像を変えないので完全関手です（命題 2.3［群のコホモロジーと群の拡大］）。$G$ 加群 $M$ について $M^N$ は $G/N$ 加群です（定義 7.1［群のコホモロジーと群の拡大］ の 3）。

補題 6.1（群のコホモロジーは導来関手）✓

$G$ を群、$N \trianglelefteq G$ を正規部分群とする。

1. $\mathsf{Mod}_G$ は十分に入射対象と射影対象をもつ。
2. $(-)^N\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Mod}_{G/N}$ は $\inf$ の右随伴で、左完全であり、入射対象を入射対象に写す。とくに $N = G$ として、$(-)^G\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Ab}$ は左完全である。
3. $H^\bullet(G, -)$ は普遍 δ 関手で、$H^0(G, M) = M^G$ を延長する δ 関手の同型 $R^\bullet(-)^G \cong H^\bullet(G, -)$ がある。
4. 忘却関手 $U\colon \mathsf{Mod}_{G/N} \to \mathsf{Ab}$ について、$U \circ R^q((-)^N)(M) \cong H^q(N, M)$ が $G$ 加群 $M$ について自然に成り立つ。ここで右辺は $M$ を $N$ 加群とみたもののコホモロジーである。

証明（補題 6.1）

1. 命題 6.7［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2 により $[BG, \mathsf{Ab}]$ は Grothendieck 圏で、定理 7.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ により十分に入射対象をもちます。射影対象については、補題 2.4［群のコホモロジーと群の拡大］ の 1 により $e_m \mapsto m$ で定まる $\mathbb Z[G]^{(M)} \to M$ は全射、すなわち epi で（命題 2.3［群のコホモロジーと群の拡大］）、同じ補題の 2 により始域は射影対象です。

2. $G$ 準同型 $f\colon \inf A \to M$ の値は $M^N$ に入ります（$n f(a) = f(na) = f(a)$）。よって $f$ を値域 $M^N$ の $G/N$ 準同型とみなす対応 $\operatorname{Hom}_G(\inf A, M) \cong \operatorname{Hom}_{G/N}(A, M^N)$ は全単射で、両変数について自然です。$\inf$ は完全なので、命題 4.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2 により $(-)^N$ は左完全、命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1 により入射対象を保ちます。$N = G$ なら $\mathsf{Mod}_{G/G} = \mathsf{Ab}$ です。

3. 系 3.5［群のコホモロジーと群の拡大］ の 3 により $H^\bullet(G, -)$ は δ 関手で、命題 4.2［群のコホモロジーと群の拡大］ の 1 により $H^0(G, M) = M^G$ です。$\varphi\colon M \to \operatorname{CoInd}_1^G M$ を $\varphi(m)(x) = xm$ とおくと（定義 6.3［群のコホモロジーと群の拡大］）、$(g\varphi(m))(x) = \varphi(m)(xg) = xgm = \varphi(gm)(x)$ なので $G$ 準同型で、$x = 1$ の値から単射、すなわち mono です。補題 6.4［群のコホモロジーと群の拡大］ により $n \ge 1$ で $H^n(G, \operatorname{CoInd}_1^G M) = 0$ なので、$H^n(G, -)$ は消去可能です。2 と 系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 3 により主張を得ます。

4. $T^q(M) = H^q(N, M)$ とおきます。$N$ への制限は台を変えないので完全で、系 3.5［群のコホモロジーと群の拡大］ の 3 を $N$ に使うと、$T$ は $\mathsf{Mod}_G$ 上の δ 関手で、$T^0(M) = M^N$ です。消去可能性を示します。$G = \bigsqcup_{r \in R} rN$ を左剰余類への分割とすると、$\psi \mapsto (n \mapsto (\psi(rn))_{r \in R})$ は $N$ 加群の同型 $\operatorname{CoInd}_1^G M \cong \operatorname{CoInd}_1^N(M^R)$ です（$M^R$ は $M$ の $R$ 個の積の Abel 群。$n' \in N$ の作用は両辺とも引数を右から $n'$ でずらすもので、$x \in G$ は $x = rn$ と一意に書けるので全単射）。補題 6.4［群のコホモロジーと群の拡大］ を $N$ に使うと $q \ge 1$ で $T^q(\operatorname{CoInd}_1^G M) = 0$ で、3 の mono $\varphi$ について $T^q(\varphi) = 0$ です。$U \circ (-)^N$ は左完全関手の合成なので左完全で、系 5.3［導来関手と δ 関手］ の 3 により $R^q(U \circ (-)^N) \cong T^q$ です。補題 2.1 の 2 により $U \circ R^q((-)^N) \cong R^q(U \circ (-)^N)$ です。

∎

定理 6.2（Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列）✓

$G$ を群、$N \trianglelefteq G$ を正規部分群、$M$ を $G$ 加群とする。各 $q$ について $H^q(N, M)$ には $G/N$ 加群の構造が定まり（$q = 0$ では $M^N$ の通常の構造）、第一象限のスペクトル系列

$$E_2^{p,q} = H^p\bigl(G/N, H^q(N, M)\bigr) \Rightarrow H^{p+q}(G, M)$$

がある。

証明（定理 6.2）

関手 $F = (-)^N\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Mod}_{G/N}$、$\Gamma = (-)^{G/N}\colon \mathsf{Mod}_{G/N} \to \mathsf{Ab}$ を考えると $\Gamma \circ F = (-)^G$ です（$(M^N)^{G/N} = M^G$）。補題 6.1 の 1 により二つの圏は十分に入射対象をもち、同じ補題の 2 により $F$ は入射対象を入射対象に写し、$\Gamma$ は左完全です。入射対象は $\Gamma$ 非輪状です（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3）。定理 5.1 により $R^p\Gamma(R^qF(M)) \Rightarrow R^{p+q}(-)^G(M)$ です。補題 6.1 の 3 を $G$ と $G/N$ に使うと $R^n(-)^G \cong H^n(G, -)$、$R^p\Gamma \cong H^p(G/N, -)$ で、同じ補題の 4 により $G/N$ 加群 $R^qF(M)$ の台は $H^q(N, M)$ です。この同型で $H^q(N, M)$ に $G/N$ 加群の構造を入れます。

∎

LHS スペクトル系列は、大きな群のコホモロジーを、正規部分群と商群という小さな群のコホモロジーから組み立てる道具です。有限 $p$ 群のコホモロジーを中心の部分群で順に割って計算するとき、可解群について帰納法を行うとき、Galois 拡大の塔 $K \subseteq L \subseteq M$ について $\operatorname{Gal}(M/K)$ と $\operatorname{Gal}(M/L)$、$\operatorname{Gal}(L/K)$ のコホモロジーを結ぶときに使われます。とくに低次の項から得られる次の 5 項完全列は、類体論で Brauer 群を扱うときの基本的な道具です。

系 6.3（インフレーション–制限完全列の延長）✓

定理 6.2 の状況で、完全列

$$0 \to H^1(G/N, M^N) \to H^1(G, M) \to H^1(N, M)^{G/N} \to H^2(G/N, M^N) \to H^2(G, M)$$

がある。

証明（系 6.3）

$F = (-)^N\colon \mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Mod}_{G/N}$、$\Gamma = (-)^{G/N}$ とおきます。補題 6.1 の 1・2 により二つの圏は十分に入射対象をもち、$F$ と $\Gamma$ は左完全で、$F$ は入射対象を入射対象、すなわち $\Gamma$ 非輪状な対象（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3）に写すので、系 5.2 を使えます。補題 6.1 の 3・4 により $R^1\Gamma(F(M)) \cong H^1(G/N, M^N)$、$R^n(\Gamma F)(M) \cong H^n(G, M)$、$\Gamma(R^1F(M)) = R^1F(M)^{G/N}$ で、最後のものは $G/N$ 加群 $H^1(N, M)$ の不変部分です。

∎

注意 6.4（作用とエッジ写像の具体形）

定理 6.2 で導来関手から入れた $H^q(N, M)$ の $G/N$ 加群の構造は、コチェインの上では $g \in G$ が $f \mapsto (n_1, \ldots, n_q) \mapsto g f(g^{-1}n_1g, \ldots, g^{-1}n_qg)$ で働く共役作用と一致し、系 6.3 の最初の二つの射はインフレーションと制限（定義 7.1［群のコホモロジーと群の拡大］）に一致します。この一致の確認は Weibel の §6.8 と Neukirch–Schmidt–Wingberg の第 II 章にあり、この章では使いません。群のコホモロジーの章の 命題 7.5［群のコホモロジーと群の拡大］ はこの列の最初の 3 項を交差準同型で直接示したもので、系 6.3 はそれを 5 項に延ばします。

次の例は、スペクトル系列が $E_2$ で止まらない場合を小さな群で見せるものです。$E_2$ の頁の非零の項を書き出し、次数ごとに何が残るはずかを数えると、微分 $d_3$ が必要になる様子が分かります。

例 6.5（Z/4 と Z/2 × Z/2 を LHS スペクトル系列で比べる）

$M = \mathbb Z$（自明な作用）とし、$G = \mathbb Z/4$、$N = 2\mathbb Z/4\mathbb Z \cong \mathbb Z/2$、$G/N \cong \mathbb Z/2$ とします。巡回群のコホモロジー（定理 6.1［群のコホモロジーと群の拡大］）から $H^q(\mathbb Z/2, \mathbb Z)$ は $q = 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ で $\mathbb Z, 0, \mathbb Z/2, 0, \mathbb Z/2, \ldots$ です。$\mathbb Z/2$ の自己同型は恒等写像だけなので、$q \ge 2$ の $G/N$ 加群 $H^q(N, \mathbb Z) \cong \mathbb Z/2$ の作用は自明で、$q = 0$ でも $\mathbb Z^N = \mathbb Z$ に自明に作用します。同じ定理から $H^p(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2) = \mathbb Z/2$（すべての $p$）なので、$E_2$ の頁は

$$E_2^{p,0} = \mathbb Z, 0, \mathbb Z/2, 0, \mathbb Z/2, \ldots \ (p = 0, 1, 2, \ldots), \qquad E_2^{p,q} = \mathbb Z/2 \ (q \ge 2 \text{ が偶数}), \qquad E_2^{p,q} = 0 \ (q \text{ が奇数})$$

です。全次数 $1$ には非零の項が無いので $H^1(\mathbb Z/4, \mathbb Z) = 0$ です。全次数 $2$ では $E_2^{2,0} = \mathbb Z/2$ と $E_2^{0,2} = \mathbb Z/2$ で、これらに出入りする微分の相手はすべて $0$ なので $E_\infty = E_2$ で、$H^2$ は位数 $4$ です。実際 $H^2(\mathbb Z/4, \mathbb Z) = \mathbb Z/4$ です。全次数 $3$ では $E_2^{1,2} = \mathbb Z/2$ だけが非零ですが、$H^3(\mathbb Z/4, \mathbb Z) = \operatorname{Ker}(4)/0 = 0$ なので、これは消えなければなりません。$d_2$ の相手は $0$ なので、$d_3\colon E_3^{1,2} \to E_3^{4,0} = \mathbb Z/2$ が同型であることがわかります。スペクトル系列は $E_2$ で退化するとは限りません。

$G = \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$、$N = \mathbb Z/2 \times 0$ でも $E_2$ の頁はまったく同じです。しかし $0 \to \mathbb Z \to \mathbb Q \to \mathbb Q/\mathbb Z \to 0$ の長完全列と $H^n(G, \mathbb Q) = 0$（$n \ge 1$。系 7.3［群のコホモロジーと群の拡大］ の 2）から $H^2(G, \mathbb Z) \cong H^1(G, \mathbb Q/\mathbb Z) = \operatorname{Hom}(G, \mathbb Q/\mathbb Z)$（命題 4.2［群のコホモロジーと群の拡大］ の 3）で、これは $\mathbb Z/4$ では $\mathbb Z/4$、$\mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$ では $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/2$ です。同じ $E_\infty$ から異なる $H^2$ が得られ、拡大の問題が実際に残ることがわかります。

7. 演習

演習 7.1易

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ が完全関手なら、下に有界な複体 $C$ について $R^nF(C) \cong F(H^n(C))$ であることを示してください。

解答

$F$ は完全なので入射分解の完全性を保ち、$p \ge 1$ で $R^pF = 0$ です（演習 9.1［導来関手と δ 関手］）。定理 4.2 の第二のスペクトル系列は 1 列 $p = 0$ に集中し、命題 6.2［スペクトル系列］ の 1 により $R^nF(C) \cong E_2^{0,n} = R^0F(H^n(C)) \cong F(H^n(C))$ です。

演習 7.2標準

可換環 $A$ の零因子でない元 $x$ について $B = A/(x)$ とします。$A$ 加群 $N$ について $\operatorname{Ext}_A^0(B, N) \cong \{ n \in N \mid xn = 0 \}$、$\operatorname{Ext}_A^1(B, N) \cong N/xN$、$q \ge 2$ で $\operatorname{Ext}_A^q(B, N) = 0$ を示し、定理 5.4 から $B$ 加群 $M$ についての長完全列を導いてください。さらに $x$ が $N$ 正則（$N$ 上の $x$ 倍が単射）なら $\operatorname{Ext}_A^{n}(M, N) \cong \operatorname{Ext}_B^{n-1}(M, N/xN)$ となることを示してください。

解答

$0 \to A \xrightarrow{x} A \to B \to 0$ は射影分解なので、$\operatorname{Hom}_A(-, N)$ を施した複体 $N \xrightarrow{x} N$（次数 $0, 1$）のコホモロジーが $\operatorname{Ext}_A^q(B, N)$ で（定理 6.2［導来関手と δ 関手］ と 命題 7.1［導来関手と δ 関手］ の 3）、主張の形になります。$A \to B$ は全射なので、$x$ で消える $A$ 加群の $B$ 加群の構造はただ一つで、この二つの $B$ 加群は自然なものです。スペクトル系列は 2 行 $q = 0, 1$ なので、命題 6.2［スペクトル系列］ の 2（$s = 1$）により

$$\cdots \to \operatorname{Ext}_B^n(M, N[x]) \to \operatorname{Ext}_A^n(M, N) \to \operatorname{Ext}_B^{n-1}(M, N/xN) \xrightarrow{d_2} \operatorname{Ext}_B^{n+1}(M, N[x]) \to \cdots$$

（$N[x] = \{n \mid xn = 0\}$）が完全です。$x$ が $N$ 正則なら $N[x] = 0$ なので $\operatorname{Ext}_A^n(M, N) \cong \operatorname{Ext}_B^{n-1}(M, N/xN)$ です。これは可換環論の 定理 7.4［Tor・Ext と深さ］ の証明で使われる「Rees の補題」の形です。

演習 7.3易

系 6.3 を使って、$H^1(N, M) = 0$ なら $H^2(G/N, M^N) \to H^2(G, M)$ が単射であることを示してください。

解答

5 項完全列の $H^1(N, M)^{G/N} \to H^2(G/N, M^N) \to H^2(G, M)$ で、左端は $H^1(N, M) = 0$ の不変部分なので $0$ です。完全性から $H^2(G/N, M^N) \to H^2(G, M)$ の核は $0$ の像、すなわち $0$ で、この射は単射です。

参考文献

• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — §5.7（Cartan–Eilenberg 分解と超導来関手）、§5.8（Grothendieck のスペクトル系列）、§6.8（Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列）。
• A. Grothendieck, “Sur quelques points d’algèbre homologique”, Tôhoku Mathematical Journal 9 (1957), 119–221 — 第 II 章（合成関手のスペクトル系列）。
• H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956 — 第 XVI・XVII 章。
• G. Hochschild, J.-P. Serre, “Cohomology of group extensions”, Transactions of the American Mathematical Society 74 (1953), 110–134。
• J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of Number Fields, 2nd ed., Springer, 2008 — 第 II 章（群の拡大とスペクトル系列）。