導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性

0. この記事の要点

完全列を別の対象に写すと、うまく写らずに途中で「欠け」が出ることがあります。たとえば、列 $0 \to A \to B \to C \to 0$ の各項から元の集合を取り出す操作では、$B$ から $C$ への写りが全射でなくなることがあります。この記事は、その欠けを測る量（導来関手）を、元を使わずに「射と完全性」だけで作り、それが分解の取り方によらず、次数 $0$ の情報だけで一意に決まることを示します。読み終えると、$\operatorname{Ext}$ や $\operatorname{Tor}$ などの個別の計算が、同じ一つの仕組みの特別な場合として見えるようになります。

• アーベル圏の分解は比較定理により鎖ホモトピーを除いて一意で、短完全列の両端の分解からは馬蹄補題で真ん中の分解が組み立てられます。どちらも「入射対象へは、完全な列の余核を経由して射が延びる」という一つの延長補題から出ます。
• 左完全関手 $F$ の右導来関手 $R^nF$ を入射分解で定めると、短完全列から長完全列が出て、$R^\bullet F$ はδ 関手（短完全列ごとに「連結射」を伴って長完全列をなす関手の族）になります。
• Grothendieck の定理: 高次の項が「消去可能」（どの対象も、その項で $0$ に写る単射で送れる）な δ 関手は普遍で、次数 $0$ の関手だけで決まります。導来関手はこの性質で特徴づけられ、非輪状分解・次元ずらし・随伴との交換はこの普遍性から一様に出ます。
• $\operatorname{Ext}$ は第 1 変数の射影分解でも第 2 変数の入射分解でも計算でき、その同型は両変数について自然です（二重複体と非輪状集成補題による）。可換環上の $\operatorname{Tor}$ の平衡性も、δ 関手の普遍性を使って両変数について自然な同型にできます。
• 逆系の極限 $\varprojlim$ の導来関手は $\varprojlim^1$ だけが残り、$\prod A_n \to \prod A_n$ の余核として具体的に書けます。Mittag-Leffler 条件（逆系の写像の像が途中から変わらなくなる条件）はその消滅条件です。

この記事で使う事前知識

• アーベル圏・完全列: 核・余核・像が使え、完全列が定義できる圏。→ アーベル圏、完全列
• 入射対象と「十分にもつ」: 単射に沿って射を延ばせる対象。どの対象もそこへの単射を持つとき、十分にもつといいます。→ 入射対象をもつ
• 鎖ホモトピー: 二つの鎖写像の差が $dh + hd$ の形に書けること。→ 鎖ホモトピー
• 非輪状な複体: すべての次数でコホモロジーが $0$、つまり完全な複体。→ 非輪状
• 擬同型: コホモロジーの上で同型を誘導する鎖写像。→ 擬同型
• 二重複体と全複体: 縦横二方向の微分をもつ複体と、それを一本にまとめた複体。→ 二重複体

1. 動機

左完全関手 $F$ は短完全列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ を $0 \to FX' \to FX \to FX''$ に写しますが、最後の射は一般に epi ではありません。$\operatorname{Hom}(M, -)$、層の大域切断 $\Gamma$、群の不変部分 $M \mapsto M^G$、逆系の極限 $\varprojlim$ がその例です。欠けた右端を補って列を右へ延ばし、完全性を取り戻すのが導来関手 $R^1F, R^2F, \ldots$ です。

Tor・Ext と深さの章では、加群について射影分解でこれを行いました。しかし代数幾何で必要な Abel 群の層の圏には十分な射影対象がなく、元を使った議論もそのままでは使えません。そこでこの章では、射影対象・入射対象と Grothendieck 圏の章で存在を示した入射対象を使い、一般のアーベル圏で、射と完全性だけを使って導来関手を組み立てます。アーベル圏を加群の圏に埋め込む定理は使いません。

もう一つの主題は δ 関手の普遍性です。導来関手の定義は分解の選び方に依存して見えますが、実際には「次数 $0$ が $F$ で、高次の項が単射で消せる δ 関手」はただ一つしかありません。これが Grothendieck の定理で、層のコホモロジーをČech コホモロジーと比べるとき、群のコホモロジーをコチェインで計算するとき、二つの「コホモロジー論」が一致することを示す標準的な道具になります。この章でも、$\operatorname{Tor}$ の平衡性の自然性と $\varprojlim^1$ の計算をこの普遍性で示します。

2. 分解と延長補題

以下 $\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）で、Hom は小さい集合とします。複体・鎖写像・コホモロジー・鎖ホモトピーは鎖複体とホモトピー圏の章（定義 2.1［鎖複体とホモトピー圏］、定義 2.3［鎖複体とホモトピー圏］、定義 4.1［鎖複体とホモトピー圏］）の意味で、添字は上付きで書きます。すなわち $\iota^n\colon Z^n(X) \to X^n$ は $d^n$ の核、$\bar d^{n-1}\colon X^{n-1} \to Z^n(X)$ は $d^{n-1} = \iota^n \bar d^{n-1}$ で定まる射で、$H^n(X) = \operatorname{Coker} \bar d^{n-1}$ です。下付きの鎖複体 $\cdots \to P_1 \to P_0$ は $P^{-n} = P_n$ とおいて上付きの複体とみなし、$H_n = H^{-n}$ と書きます。射影対象・入射対象と「十分にもつ」は 定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］、定義 3.4［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の意味です。

まず、以後繰り返し使う完全性の基本操作をまとめます。元を使った議論では「核に入る元は像から来る」と言う箇所が、ここでは核と余核の言葉に置き換わっています。次の補題は、完全な複体を短完全列のつなぎ合わせとして見る、という見方を与えます。

補題 2.1（完全性の基本操作）✓

1. 複体 $X$ が $X^n$ で完全である（$X^{n-1} \to X^n \to X^{n+1}$ が完全である）ことと、$H^n(X) = 0$ は同値である。
2. 各 $n \in \mathbb Z$ について短完全列 $0 \to K^n \xrightarrow{j^n} E^n \xrightarrow{e^n} K^{n+1} \to 0$ が与えられたとき、$d^n = j^{n+1} e^n$ とおくと $E = (E^n, d^n)$ は非輪状な複体である。
3. 逆に $E$ が非輪状な複体なら、各 $n$ で $0 \to Z^n(E) \xrightarrow{\iota^n} E^n \xrightarrow{\bar d^n} Z^{n+1}(E) \to 0$ は短完全列である。
4. 双積 $(A \oplus B, i_1, i_2, p_1, p_2)$ について $0 \to A \xrightarrow{i_1} A \oplus B \xrightarrow{p_2} B \to 0$ は短完全列である。

証明（補題 2.1）

1. 射の余核が零対象であることと、その射が epi であることは同値です。実際 $c\colon B \to C$ を $g$ の余核とすると、$g$ が epi なら $cg = 0$ から $c = 0$、$c$ も epi なので $1_C c = 0 = 0 c$ から $1_C = 0$ で $C = 0$ です。逆に $C = 0$ なら $yg = 0$ を満たす $y$ は $C$ を経由して $0$ なので、補題 2.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) により $g$ は epi です。

$\bar d^{n-1} = m e$ を像分解し（定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 1。$e$ は epi、$m$ は mono）、$d^{n-1} = (\iota^n m) e$ とすると、$\iota^n m$ は mono なので、同じ定理の 3 により $\operatorname{im} d^{n-1}$ は $\iota^n m$ と同じ部分対象です。$\ker d^n = \iota^n$ なので、$X^n$ での完全性は「$\iota^n m = \iota^n \varphi$ となる同型 $\varphi$ がある」こと、すなわち（$\iota^n$ は mono）$m$ が同型であることと同値です。$m$ が同型なら $\bar d^{n-1}$ は epi です。逆に $\bar d^{n-1} = me$ が epi なら $m$ は epi で、mono かつ epi なので同型です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 2）。よって完全性は $\bar d^{n-1}$ が epi であること、すなわち $H^n(X) = \operatorname{Coker} \bar d^{n-1} = 0$ と同値です。

2. $d^{n+1} d^n = j^{n+2} (e^{n+1} j^{n+1}) e^n = 0$ です。$j^{n+2}$ は mono なので $d^{n+1} x = 0 \iff e^{n+1} x = 0$ で、$\ker d^{n+1} = \ker e^{n+1} = j^{n+1}$ です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。一方 $d^n = j^{n+1} e^n$ は mono と epi の合成なので、定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 3 により $\operatorname{im} d^n$ は $j^{n+1}$ と同じ部分対象です。よって $E$ はすべての次数で完全で、1 により非輪状です。

3. $\iota^{n+1}$ は mono なので $\ker \bar d^n = \ker d^n = \iota^n$ です。$E$ は $E^{n+1}$ で完全なので、1 により $\bar d^n$ は epi です。補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) により列は短完全です。

4. $p_2 w = 0$ なら $w = (i_1 p_1 + i_2 p_2) w = i_1 (p_1 w)$ で、$p_1 i_1 = 1$ から $i_1$ は mono なので、この分解は一意です。よって $i_1 = \ker p_2$ です。$p_2 i_2 = 1$ から $p_2$ は epi です。補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) により短完全列です。

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定義 2.2（分解・射影分解・入射分解）↗

$X$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $X$ の右分解とは、$n < 0$ で $E^n = 0$ となる複体 $E$ と射 $\eta\colon X \to E^0$ の組で、列 $0 \to X \xrightarrow{\eta} E^0 \xrightarrow{d^0} E^1 \xrightarrow{d^1} \cdots$ が完全なものをいい、$\eta\colon X \to E$ と書く。各 $E^n$ が入射対象のとき入射分解という。
2. 双対に、$X$ の左分解とは、鎖複体 $\cdots \to E_1 \to E_0$ と射 $\varepsilon\colon E_0 \to X$ の組で、$\cdots \to E_1 \to E_0 \xrightarrow{\varepsilon} X \to 0$ が完全なものをいう。各 $E_n$ が射影対象のとき射影分解という。
3. $n > N$ で $E^n = 0$（または $E_n = 0$）となる最小の $N \ge 0$ を分解の長さという。

右分解 $\eta\colon X \to E$ について、$X$ を次数 $-1$ に置き $d^{-1} = \eta$ とした複体を増強複体といい $\tilde E$ と書く。補題 2.1 の 1 により、(1) の条件は $\tilde E$ が非輪状であることと同値である。

命題 2.3（分解の存在）✓

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつなら、任意の対象は入射分解をもつ。双対に、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつなら、任意の対象は射影分解をもつ。

証明（命題 2.3）

$K^0 = X$ とし、$K^n$ まで作れたとき、mono $j^n\colon K^n \to I^n$（$I^n$ は入射対象）をとり、$e^n\colon I^n \to K^{n+1}$ をその余核とします。mono はその余核の核なので（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1）、余核は epi であることと合わせて $0 \to K^n \to I^n \to K^{n+1} \to 0$ は短完全列です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。各段の mono は 選択公理（公理 3.1）［選択公理と Zorn の補題］ で選びます。$n \le -2$ の項を $0$、次数 $-1$ を $0 \to 0 \to X \xrightarrow{1} K^0 \to 0$ として 補題 2.1 の 2 を使うと、$0 \to X \xrightarrow{j^0} I^0 \xrightarrow{j^1 e^0} I^1 \to \cdots$ は完全で、これが入射分解です。射影分解は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$（アーベル圏。命題 4.2［加法圏とアーベル圏］）で同じ構成をすれば得られます。$\mathcal A$ の射影対象は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の入射対象で（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の最後の主張を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）、完全列は矢印を逆にしても完全だからです（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）。

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この章のほとんどの構成は、次の延長補題を繰り返し使うだけです。加群なら「部分加群上で $0$ の写像は商に下り、入射加群へは延びる」という 2 段の議論で、それを核・余核の言葉で書いたものです。

補題 2.4（延長補題）✓

$A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C$ を $B$ で完全な列、$I$ を入射対象、$\psi\colon B \to I$ を $\psi a = 0$ を満たす射とする。このとき $\chi b = \psi$ を満たす射 $\chi\colon C \to I$ が存在する（$A = 0$ のとき、仮定は $b$ が mono であることにあたる）。

双対に、$P$ が射影対象で $\psi\colon P \to B$ が $b \psi = 0$ を満たすなら、$a \chi = \psi$ を満たす $\chi\colon P \to A$ が存在する。

証明（補題 2.4）

$b = me$ を像分解します（定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 1。$e\colon B \to J$ は epi、$m\colon J \to C$ は mono）。$m$ は mono なので $\ker b = \ker e$ です。$a = m_a e_a$ も像分解すると、$e_a$ は epi なので $\psi a = 0$ から $\psi m_a = 0$ です。完全性から $m_a = \operatorname{im} a$ と $\ker b = \ker e$ は同じ部分対象なので、$\psi \circ \ker e = 0$ です。$e$ は epi なので $\ker e$ の余核で（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1）、$\psi = \psi' e$ となる $\psi'\colon J \to I$ があります。$I$ は入射対象で $m$ は mono なので、$\chi m = \psi'$ となる $\chi\colon C \to I$ があります（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。$\chi b = \chi m e = \psi' e = \psi$ です。

双対の主張は、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で同じ証明をすれば得られます（命題 4.2［加法圏とアーベル圏］、補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)、命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の最後の主張）。

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3. 比較定理と馬蹄補題

定理 3.1（比較定理）✓

1. （入射版）$\eta_E\colon X \to E$ を $X$ の右分解とする。$I$ を $n < 0$ で $I^n = 0$ となり各 $I^n$ が入射対象である複体、$\eta_I\colon Y \to I^0$ を $d_I^0 \eta_I = 0$ を満たす射、$f\colon X \to Y$ を射とする。このとき鎖写像 $\varphi\colon E \to I$ で $\varphi^0 \eta_E = \eta_I f$ を満たすもの（$f$ の持ち上げ）が存在し、$f$ の二つの持ち上げは鎖ホモトピックである。
2. （射影版）$P$ を各 $P_n$ が射影対象の鎖複体（$n < 0$ で $P_n = 0$）、$\varepsilon_P\colon P_0 \to X$ を $\varepsilon_P d_1 = 0$ を満たす射、$\varepsilon_Q\colon Q \to Y$ を $Y$ の左分解、$f\colon X \to Y$ を射とする。このとき鎖写像 $\varphi\colon P \to Q$ で $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ を満たすものが存在し、そのような二つの鎖写像は鎖ホモトピックである。
3. $X$ の二つの入射分解 $I, I'$ について、$1_X$ の持ち上げ $I \to I'$ はホモトピー同値である。射影分解についても同様である。

証明（定理 3.1）

1. 存在。 $\varphi^0$: 列 $0 \to X \xrightarrow{\eta_E} E^0$ は $X$ で完全（$\eta_E$ は mono）なので、補題 2.4 を $\psi = \eta_I f\colon X \to I^0$ に使うと $\varphi^0 \eta_E = \eta_I f$ となる $\varphi^0$ があります。$\varphi^0, \ldots, \varphi^n$ が $d_I \varphi^{k-1} = \varphi^k d_E$（$k \le n$）を満たすまで作れたとし、$\psi = d_I^n \varphi^n\colon E^n \to I^{n+1}$ とおきます。$n \ge 1$ なら $\psi d_E^{n-1} = d_I d_I \varphi^{n-1} = 0$、$n = 0$ なら $\psi \eta_E = d_I^0 \eta_I f = 0$ です。$E^{n-1} \to E^n \to E^{n+1}$（$n = 0$ では $X \to E^0 \to E^1$）は $E^n$ で完全なので、補題 2.4 により $\varphi^{n+1} d_E^n = d_I^n \varphi^n$ となる $\varphi^{n+1}$ があります。

1. 一意性。 $\varphi, \varphi'$ を二つの持ち上げとし、$\theta = \varphi - \varphi'$ とおくと $\theta$ は鎖写像で $\theta^0 \eta_E = 0$ です。$h^n\colon E^n \to I^{n-1}$ を $\theta^n = d_I^{n-1} h^n + h^{n+1} d_E^n$ となるよう帰納的に作ります。$h^0 = 0$（$I^{-1} = 0$）とします。$\theta^0 \eta_E = 0$ と $X \to E^0 \to E^1$ の完全性から、補題 2.4 により $h^1 d_E^0 = \theta^0$ となる $h^1$ があります。$h^1, \ldots, h^n$（$n \ge 1$）まで作れたとし、$\psi = \theta^n - d_I^{n-1} h^n$ とおくと

$$\psi d_E^{n-1} = d_I^{n-1} \theta^{n-1} - d_I^{n-1} h^n d_E^{n-1} = d_I^{n-1}\bigl(\theta^{n-1} - h^n d_E^{n-1}\bigr) = d_I^{n-1} d_I^{n-2} h^{n-1} = 0$$

です（最初の等号は $\theta$ が鎖写像であること、3 番目は帰納法の仮定 $\theta^{n-1} = d_I^{n-2} h^{n-1} + h^n d_E^{n-1}$）。補題 2.4 により $h^{n+1} d_E^n = \psi$ となる $h^{n+1}$ があり、これは $\theta^n = d_I^{n-1} h^n + h^{n+1} d_E^n$ を意味します。

2. 1 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用します。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ はアーベル圏で（命題 4.2［加法圏とアーベル圏］）、$Q$ の列 $\cdots \to Q_1 \to Q_0 \to Y \to 0$ は矢印を逆にすると $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ での $Y$ の右分解になり（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）、$P_n$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の入射対象です（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の最後の主張を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）。$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の射 $Y \to X$ としての $f$ に 1 を使うと、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の鎖写像 $Q \to P$、すなわち $\mathcal A$ の鎖写像 $\varphi\colon P \to Q$ で $\varepsilon_Q \varphi_0 = f \varepsilon_P$ を満たすものが得られます。鎖ホモトピーの等式 $\theta = dh + hd$ は合成の順序を入れ替えても同じ形なので、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の鎖ホモトピーは $\mathcal A$ の鎖ホモトピーです。

3. $\alpha\colon I \to I'$、$\beta\colon I' \to I$ を $1_X$ の持ち上げとすると、$\beta\alpha$ と $1_I$ はどちらも $1_X$ の持ち上げ $I \to I$ なので、1 によりホモトピックです。$\alpha\beta \simeq 1_{I'}$ も同様です。射影分解は 2 から同じ議論です。

∎

注意 3.2（加群の場合）

$\mathcal A = \mathsf{Mod}_A$ では射影対象・入射対象は射影加群・入射加群と一致し（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、定理 3.1 の 2 は可換環論の 比較定理（定理 3.3）［Tor・Ext と深さ］、次の 補題 3.3 の 2 は 馬蹄補題（補題 3.4）［Tor・Ext と深さ］ です。既存の証明は元を使って持ち上げを作り、蛇の補題で完全性を確かめていました。この章の証明はどちらも使いません。

次の馬蹄補題は、短完全列の両端の入射分解から、真ん中の入射分解を「次数ごとの双積」として組み立てるものです。

補題 3.3（馬蹄補題）✓

1. $0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$ を短完全列、$\eta'\colon X' \to I'$、$\eta''\colon X'' \to I''$ を入射分解とする。このとき射 $\lambda\colon X \to I'^0$ と $\tau^n\colon I''^n \to I'^{n+1}$（$n \ge 0$）があって、$J^n = I'^n \oplus I''^n$ に

$$d_J^n = \begin{pmatrix} d_{I'}^n & \tau^n \\ 0 & d_{I''}^n \end{pmatrix}, \qquad \eta = \begin{pmatrix} \lambda \\ \eta'' v \end{pmatrix}\colon X \to J^0$$

（双積の成分で書いた射）を入れたものは $X$ の入射分解である。とくに標準的な包含 $i\colon I' \to J$ と射影 $p\colon J \to I''$ は鎖写像で、$i^0 \eta' = \eta u$、$p^0 \eta = \eta'' v$ を満たし、各次数で $0 \to I'^n \to J^n \to I''^n \to 0$ は分裂する短完全列である。 2. 双対に、$X', X''$ の射影分解 $P', P''$ から、$P_n = P'_n \oplus P''_n$ で、標準的な包含 $P' \to P$ と射影 $P \to P''$ が増強写像と可換な鎖写像になる $X$ の射影分解 $P$ が作れる。

証明（補題 3.3）

1. 双積の成分で計算すると、$d_J d_J = 0$ と $d_J^0 \eta = 0$ は

$$d_{I'}^0 \lambda + \tau^0 \eta'' v = 0, \qquad d_{I'}^{n} \tau^{n-1} + \tau^{n} d_{I''}^{n-1} = 0 \quad (n \ge 1)$$

と同値です（対角成分は $d_{I'} d_{I'} = 0$、$d_{I''} d_{I''} = 0$、$d_{I''}^0 \eta'' = 0$ から自動的に $0$）。

$\lambda$ の構成。 $u$ は mono で $I'^0$ は入射対象なので、$\lambda u = \eta'$ となる $\lambda$ があります。

$\tau^0$ の構成。 $(-d_{I'}^0 \lambda) u = -d_{I'}^0 \eta' = 0$ で $X' \to X \to X''$ は $X$ で完全なので、補題 2.4 により $\chi v = -d_{I'}^0 \lambda$ となる $\chi\colon X'' \to I'^1$ があります。$\eta''$ は mono なので再び同じ補題により $\tau^0 \eta'' = \chi$ となる $\tau^0\colon I''^0 \to I'^1$ があり、$\tau^0 \eta'' v = -d_{I'}^0 \lambda$ です。

$\tau^n$ の構成（$n \ge 1$）。 $\psi = -d_{I'}^n \tau^{n-1}\colon I''^{n-1} \to I'^{n+1}$ とおきます。$n = 1$ なら $\psi \eta'' v = d_{I'}^1 d_{I'}^0 \lambda = 0$ で $v$ は epi なので $\psi \eta'' = 0$、$n \ge 2$ なら $\psi d_{I''}^{n-2} = -d_{I'}^n \tau^{n-1} d_{I''}^{n-2} = d_{I'}^n d_{I'}^{n-1} \tau^{n-2} = 0$ です。$I''$ の増強複体は $I''^{n-1}$ で完全なので、補題 2.4 により $\tau^n d_{I''}^{n-1} = \psi$ となる $\tau^n$ があります。

分解であること。 $J^n$ は入射対象の双積で、双積は積なので入射対象です（命題 3.3［加法圏とアーベル圏］ の (1)、命題 3.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の双対の主張）。行列の形から $d_J i = i d_{I'}$、$p d_J = d_{I''} p$ で、$\eta u = (\lambda u, \eta'' v u) = i^0 \eta'$、$p^0 \eta = \eta'' v$ です。したがって増強複体の間の列 $0 \to \tilde I' \to \tilde J \to \tilde I'' \to 0$（次数 $-1$ では $u, v$、次数 $n \ge 0$ では $i^n, p^n$）は複体の射の列で、各次数で短完全です（次数 $-1$ は仮定、次数 $n \ge 0$ は 補題 2.1 の 4）。命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4 によりこれは $\mathrm{C}(\mathcal A)$ の短完全列で、長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）の一部 $H^n(\tilde I') \to H^n(\tilde J) \to H^n(\tilde I'')$ の両端は $0$ です（定義 2.2）。よって $H^n(\tilde J) = 0$ がすべての $n$ で成り立ち、$\eta\colon X \to J$ は入射分解です。分裂は、$i^n, p^n$ が双積の包含と射影であることそのものです。

2. 1 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ と短完全列 $0 \to X'' \to X \to X' \to 0$（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）に適用し、定理 3.1 の証明の 2 と同じ読み替えをします。

∎

馬蹄補題。両脇の入射分解（実線）から、真ん中の列（破線）を次数ごとの双積として作る。

導来関手の連結射が自然であることを示すには、短完全列の射を馬蹄補題の分解の射に持ち上げる必要があります。次の補題は、両脇の持ち上げ $\varphi', \varphi''$ が与えられたとき、真ん中の持ち上げを「右上の成分 $\sigma^n$ を足した上三角行列」として作れる、と主張します。証明は、$\sigma^n$ を次数の小さいほうから延長補題で順に作っていくだけで、どの等式も「この段の $\sigma$ を決めるための条件」です。

補題 3.4（馬蹄補題の分解の持ち上げ）✓

1. 短完全列 $E\colon 0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$、$E_1\colon 0 \to Y' \xrightarrow{u_1} Y \xrightarrow{v_1} Y'' \to 0$ と、短完全列の射 $(g', g, g'')\colon E \to E_1$（$g u = u_1 g'$、$g'' v = v_1 g$）が与えられたとする。$X', X'', Y', Y''$ の入射分解 $I', I'', I'_1, I''_1$ から 補題 3.3 の 1 で $X, Y$ の入射分解 $J, J_1$ が（それぞれ $\lambda, \tau$ と $\lambda_1, \tau_1$ によって）作られているとし、$\varphi'\colon I' \to I'_1$、$\varphi''\colon I'' \to I''_1$ を $g', g''$ の持ち上げとする。このとき射 $\sigma^n\colon I''^n \to I_1'^n$ があって、

$$\varphi^n = \begin{pmatrix} \varphi'^n & \sigma^n \\ 0 & \varphi''^n \end{pmatrix}\colon J^n \to J_1^n$$

は $g$ の持ち上げ $J \to J_1$ であり、$(\varphi', \varphi, \varphi'')$ は複体の短完全列 $0 \to I' \to J \to I'' \to 0$ から $0 \to I'_1 \to J_1 \to I''_1 \to 0$ への射である。 2. 射影分解と 補題 3.3 の 2 の分解についても、双対の主張が成り立つ。

証明（補題 3.4）

1. 行列の形から $\varphi i = i \varphi'$、$p \varphi = \varphi'' p$ なので、$\varphi$ が $g$ の持ち上げであることを示せば最後の主張も従います。成分で書くと、示すべきことは

$$\varphi'^0 \lambda + \sigma^0 \eta'' v = \lambda_1 g, \qquad \sigma^{n+1} d_{I''}^n = \omega^n := d_{I'_1}^n \sigma^n + \tau_1^n \varphi''^n - \varphi'^{n+1} \tau^n \quad (n \ge 0)$$

です。実際、$\varphi^0 \eta = \eta_1 g$ の第 2 成分は $\varphi''^0 \eta'' v = \eta''_1 g'' v = \eta''_1 v_1 g$ で自動的に成り立ち、$d_{J_1} \varphi = \varphi d_J$ の対角成分は $\varphi', \varphi''$ が鎖写像であることから成り立ち、右上の成分が第 2 の等式です。以下、補題 3.3 の証明で得た関係式 $d_{I'} \lambda = -\tau^0 \eta'' v$、$d_{I'} \tau^{n-1} = -\tau^n d_{I''}^{n-1}$（$J_1$ についても同様）を使います。

$\sigma^0$。 $\rho = \lambda_1 g - \varphi'^0 \lambda\colon X \to I_1'^0$ とおくと $\rho u = \lambda_1 u_1 g' - \varphi'^0 \eta' = \eta'_1 g' - \eta'_1 g' = 0$ です。補題 2.4 を 2 回（$X' \to X \to X''$ の完全性と $\eta''$ が mono であることに）使うと、$\sigma^0 \eta'' v = \rho$ となる $\sigma^0$ が得られます。

$\sigma^{n+1}$。 $n = 0$ のとき、$\omega^0 \eta'' v$ を計算すると

$$d_{I'_1}(\lambda_1 g - \varphi'^0 \lambda) + \tau_1^0 \eta''_1 g'' v - \varphi'^1 \tau^0 \eta'' v = -\tau_1^0 \eta''_1 v_1 g + \varphi'^1 \tau^0 \eta'' v + \tau_1^0 \eta''_1 g'' v - \varphi'^1 \tau^0 \eta'' v = 0$$

（$d \varphi'^0 = \varphi'^1 d$ と $v_1 g = g'' v$ を使った）で、$v$ は epi なので $\omega^0 \eta'' = 0$ です。$n \ge 1$ のとき、$\sigma^n d_{I''}^{n-1} = \omega^{n-1}$ と $d d = 0$ から

$$d_{I'_1} \sigma^n d_{I''}^{n-1} = d_{I'_1} \tau_1^{n-1} \varphi''^{n-1} - d_{I'_1} \varphi'^n \tau^{n-1} = -\tau_1^n \varphi''^n d_{I''}^{n-1} + \varphi'^{n+1} \tau^n d_{I''}^{n-1}$$

なので、$\omega^n d_{I''}^{n-1} = 0$ です。いずれの場合も、$I''$ の増強複体の $I''^n$ での完全性と 補題 2.4 により $\sigma^{n+1} d_{I''}^n = \omega^n$ となる $\sigma^{n+1}$ があります。

2. 1 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用します（定理 3.1 の証明の 2 と同じ読み替え）。

∎

4. δ 関手と Grothendieck の定理

定義 4.1（δ 関手）↗

$\mathcal A, \mathcal B$ をアーベル圏とする。

1. （コホモロジー的）δ 関手 $T$ とは、加法関手の族 $T^n\colon \mathcal A \to \mathcal B$（$n \ge 0$）と、$\mathcal A$ の短完全列 $E\colon 0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ ごとに定まる射 $\delta^n_E\colon T^n(X'') \to T^{n+1}(X')$（連結射）の組で、次を満たすものをいう。
   • (a) 列 $0 \to T^0X' \to T^0X \to T^0X'' \xrightarrow{\delta^0_E} T^1X' \to \cdots \to T^nX'' \xrightarrow{\delta^n_E} T^{n+1}X' \to T^{n+1}X \to \cdots$ は完全である。
   • (b) 短完全列の射 $(g', g, g'')\colon E \to E_1$ について $\delta^n_{E_1} T^n(g'') = T^{n+1}(g') \delta^n_E$ が成り立つ。
2. δ 関手の射 $f\colon T \to S$ とは、自然変換の族 $f^n\colon T^n \to S^n$ で、すべての短完全列 $E$ と $n$ について $f^{n+1}_{X'} \delta^n_{E, T} = \delta^n_{E, S} f^n_{X''}$ を満たすものをいう。
3. ホモロジー的 δ 関手 $T = (T_n)_{n \ge 0}$ は、連結射 $\delta_n\colon T_n(X'') \to T_{n-1}(X')$（$n \ge 1$）をもち、完全列 $\cdots \to T_1X'' \xrightarrow{\delta_1} T_0X' \to T_0X \to T_0X'' \to 0$ と (b) と同様の自然性を満たすものとして定める。射も同様に定める。

ホモロジー的 δ 関手は、反対圏に移すとコホモロジー的 δ 関手になります。$\mathcal A$ の短完全列 $0 \to Y' \to Y \to Y'' \to 0$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の短完全列 $0 \to Y'' \to Y \to Y' \to 0$ で（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）、$T_n$ を $\mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B^{\mathrm{op}}$ の関手 $T^n$ とみなすと、$\delta_{n+1}\colon T_{n+1}(Y'') \to T_n(Y')$ は $\mathcal B^{\mathrm{op}}$ の射 $T^n(Y') \to T^{n+1}(Y'')$、つまり $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の短完全列の連結射になり、長完全列は矢印を逆にしても完全です。δ 関手の射の向きもこの読み替えで逆になります。

定義 4.2（普遍 δ 関手）↗

1. コホモロジー的 δ 関手 $T$ が普遍であるとは、任意のコホモロジー的 δ 関手 $S$ と任意の自然変換 $f^0\colon T^0 \to S^0$ に対し、$f^0$ を次数 $0$ の成分とする δ 関手の射 $f\colon T \to S$ がただ一つ存在することをいう。
2. ホモロジー的 δ 関手 $T$ が普遍であるとは、任意のホモロジー的 δ 関手 $S$ と自然変換 $f_0\colon S_0 \to T_0$ に対し、$f_0$ を次数 $0$ の成分とする δ 関手の射 $S \to T$ がただ一つ存在することをいう。

定義 4.3（消去可能な関手）↗

加法関手 $G\colon \mathcal A \to \mathcal B$ が消去可能（effaceable）であるとは、任意の対象 $X$ に対し、mono $u\colon X \to M$ で $G(u) = 0$ となるものが存在することをいう。双対に、任意の $X$ に対し epi $q\colon M \to X$ で $G(q) = 0$ となるものが存在するとき、余消去可能であるという。

$G(M) = 0$ となる mono $X \to M$ があれば $G$ は消去可能です。たとえば入射対象で $0$ になる関手は、$\mathcal A$ が十分に入射対象をもてば消去可能です。

定理 4.4（Grothendieck の普遍性定理）✓

1. コホモロジー的 δ 関手 $T\colon \mathcal A \to \mathcal B$ について、すべての $n \ge 1$ で $T^n$ が消去可能なら、$T$ は普遍である。
2. ホモロジー的 δ 関手 $T$ について、すべての $n \ge 1$ で $T_n$ が余消去可能なら、$T$ は普遍である。

証明の筋は次のとおりです。次数 $0$ の自然変換 $f^0$ が与えられたとして、次数 $n$ から次数 $n+1$ へ帰納的に延ばします。鍵は、$T^{n+1}$ が $0$ になるように $X$ を単射で押し込んだ短完全列（本文では「消去的」と呼ぶ）です。その列の連結射 $\delta$ は全射になるので、$f^{n+1}$ は $\delta$ との可換性だけから決まります。第 1 段でこの $f^{n+1}$ の候補を作り、第 2〜3 段で消去的な列の選び方によらず自然に定まることを、第 4 段で一般の短完全列でも $\delta$ と可換なことを、第 5 段で一意性を示します。「消去可能」は、このような列がどの $X$ に対しても存在することを保証する条件です。

証明（定理 4.4）

1. $S$ を δ 関手、$f^0\colon T^0 \to S^0$ を自然変換とします。$n \ge 0$ について、δ と可換な自然変換 $f^0, \ldots, f^n$ が作られたとして、$f^{n+1}$ を作り、それが一意であることを示します。以下、短完全列 $E\colon 0 \to X \xrightarrow{u} M \xrightarrow{p} C \to 0$ で $T^{n+1}(u) = 0$ となるものを消去的と呼びます。

第 1 段。 $E$ が消去的なら、長完全列の一部 $T^n(M) \xrightarrow{T^n(p)} T^n(C) \xrightarrow{\delta_T} T^{n+1}(X) \xrightarrow{0} T^{n+1}(M)$ の完全性から、$T^n(M) \to T^n(C) \to T^{n+1}(X) \to 0$ は完全で、$\delta_T = \delta^n_{E,T}$ は $T^n(p)$ の余核です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。一方 $\delta_S f^n_C T^n(p) = \delta_S S^n(p) f^n_M = 0$（$S$ の長完全列で続く 2 つの射の合成は $0$）なので、

$$\varphi_E\, \delta_{E,T} = \delta_{E,S}\, f^n_C$$

となる $\varphi_E\colon T^{n+1}(X) \to S^{n+1}(X)$ がただ一つあります。

第 2 段。 短完全列の射 $(g, h, k)\colon E \to E'$（$E'\colon 0 \to X' \to M' \to C' \to 0$）があり、$E$ は消去的、$\psi'\colon T^{n+1}(X') \to S^{n+1}(X')$ は $\psi' \delta_{E',T} = \delta_{E',S} f^n_{C'}$ を満たすとします。このとき δ の自然性と $f^n$ の自然性から

$$\psi' T^{n+1}(g) \delta_{E,T} = \psi' \delta_{E',T} T^n(k) = \delta_{E',S} f^n_{C'} T^n(k) = \delta_{E',S} S^n(k) f^n_C = S^{n+1}(g) \delta_{E,S} f^n_C = S^{n+1}(g) \varphi_E \delta_{E,T}$$

で、$\delta_{E,T}$ は epi なので $\psi' T^{n+1}(g) = S^{n+1}(g) \varphi_E$ です。

第 3 段: 定義と自然性。 $g\colon X \to X'$ と、消去的な $E$（$u\colon X \to M$）、$E'$（$u'\colon X' \to M'$）を取ります。$w = i_1 u + i_2 u' g\colon X \to M \oplus M'$ は $p_1 w = u$ が mono なので mono で、$T^{n+1}$ が加法的なので $T^{n+1}(w) = T(i_1) T(u) + T(i_2) T(u') T(g) = 0$ です。$w$ の余核をとった短完全列 $E''$ は消去的で、射影 $p_1, p_2$ は短完全列の射 $E'' \to E$（$X$ の上では $1_X$）と $E'' \to E'$（$X$ の上では $g$）を与えます（余核の間の射は余核の普遍性から誘導される）。第 2 段をこの二つに使うと $\varphi_E = \varphi_{E''}$、$\varphi_{E'} T^{n+1}(g) = S^{n+1}(g) \varphi_{E''}$ です。$X' = X$、$g = 1_X$ とすれば、$\varphi_E$ は消去的な $E$ の選び方によらないことがわかります。そこで $f^{n+1}_X = \varphi_E$ と定めると（$T^{n+1}$ が消去可能なので消去的な $E$ は存在する）、上の等式は $f^{n+1}$ の自然性 $f^{n+1}_{X'} T^{n+1}(g) = S^{n+1}(g) f^{n+1}_X$ です。

第 4 段: δ との可換性。 任意の短完全列 $E\colon 0 \to X \xrightarrow{u} B \to C \to 0$ を取ります。mono $w\colon B \to N$ で $T^{n+1}(w) = 0$ となるものをとると、$wu\colon X \to N$ は mono で $T^{n+1}(wu) = 0$ なので、その余核をとった $E_1\colon 0 \to X \to N \to N_1 \to 0$ は消去的で、$(1_X, w, k)\colon E \to E_1$ は短完全列の射です。δ の自然性（$\delta_{E_1} T^n(k) = \delta_E$）から

$$f^{n+1}_X \delta_{E,T} = f^{n+1}_X \delta_{E_1,T} T^n(k) = \delta_{E_1,S} f^n_{N_1} T^n(k) = \delta_{E_1,S} S^n(k) f^n_C = \delta_{E,S} f^n_C$$

です。

第 5 段: 一意性。 $f, f'$ が $f^0$ を延長する δ 関手の射で $f^n = f'^n$ なら、消去的な $E$ について $f^{n+1}_X \delta_{E,T} = \delta_{E,S} f^n_C = f'^{n+1}_X \delta_{E,T}$ で、$\delta_{E,T}$ は epi なので $f^{n+1}_X = f'^{n+1}_X$ です。帰納法で $f = f'$ です。

2. 定義 4.1 の後に述べた読み替えで、$T$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B^{\mathrm{op}}$ のコホモロジー的 δ 関手になり、$\mathcal A$ の epi $q$ で $T_n(q) = 0$ となるものは $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の mono です。したがって $T_n$（$n \ge 1$）は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上で消去可能で、1 により普遍です。$\mathcal B^{\mathrm{op}}$ での射 $T \to S$ は $\mathcal B$ での射 $S \to T$ なので、これは 2 の意味の普遍性です。

∎

普遍性は「次数 $0$ だけで全体が決まる」ことを意味します。次の章以降で、二つの δ 関手が一致することを示すときの標準的な論法は、(i) どちらも消去可能であることを確かめ、(ii) 次数 $0$ で同型を作る、の 2 段です。

5. 導来関手

$\operatorname{Ob} \mathcal A$ は集合なので（公理 2.2［圏・関手・自然変換］ の約束）、$\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、命題 2.3 と選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）により各対象 $X$ に入射分解 $\eta_X\colon X \to I_X$ を一つずつ選べます。同様に、各短完全列 $E\colon 0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ に、$I_{X'}$ と $I_{X''}$ から 補題 3.3 で作った $X$ の入射分解 $J_E$ を一つずつ選んでおきます。十分に射影対象をもつときも同様に、射影分解 $P_X$ と、補題 3.3 の 2 による $J_E$ を選んでおきます。これらの選択は関手 $F$ によりません。

定義 5.1（右導来関手・左導来関手）↗

$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を加法関手とする。

1. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、$R^nF(X) = H^n(F(I_X))$ と定める。ここで $F(I_X)$ は複体 $F(I_X^0) \to F(I_X^1) \to \cdots$ である。射 $f\colon X \to Y$ には、$f$ の持ち上げ $\varphi\colon I_X \to I_Y$（定理 3.1 の 1）をとり $R^nF(f) = H^n(F(\varphi))$ と定める。$R^nF$ を $F$ の第 $n$ 右導来関手という。
2. $\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、選んだ射影分解 $P_X$ について $L_nF(X) = H_n(F(P_X)) = H^{-n}(F(P_X))$、$L_nF(f) = H_n(F(\varphi))$（$\varphi\colon P_X \to P_Y$ は 定理 3.1 の 2 の持ち上げ）と定め、第 $n$ 左導来関手という。
3. 反変関手、すなわち関手 $G\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B$ については、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ は十分に入射対象をもち、$\mathcal A$ の射影分解は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の入射分解なので、1 により $R^nG(X) = H^n(G(P_X))$（$G(P_X)$ は $G(P_0) \to G(P_1) \to \cdots$）が定まる。

定理 5.2（導来関手は δ 関手をなす）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は加法関手とする。

1. $R^nF$ は持ち上げの取り方によらずに定まる加法関手である。さらに、$X$ の任意の入射分解 $I$ について、$1_X$ の持ち上げ $\alpha\colon I \to I_X$ が誘導する $c_I = H^n(F(\alpha))\colon H^n(F(I)) \to R^nF(X)$ は $\alpha$ によらない同型で、射 $f\colon X \to Y$、$Y$ の入射分解 $I'$、$f$ の持ち上げ $\psi\colon I \to I'$ について $c_{I'} H^n(F(\psi)) = R^nF(f)\, c_I$ が成り立つ。
2. 短完全列 $E\colon 0 \to X' \xrightarrow{u} X \xrightarrow{v} X'' \to 0$ について、補題 3.3 の包含と射影が与える複体の短完全列 $0 \to F(I_{X'}) \to F(J_E) \to F(I_{X''}) \to 0$ の連結射を $\delta^n_E\colon R^nF(X'') \to R^{n+1}F(X')$ とする。これにより $(R^nF)_{n \ge 0}$ はコホモロジー的 δ 関手になる。
3. 入射対象 $I$ について、$n \ge 1$ で $R^nF(I) = 0$ である。$F$ が左完全なら、$F(\eta_X)\colon F(X) \to F(I_X^0)$ は自然同型 $F \cong R^0F$ を誘導する。
4. 双対に、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつなら、$(L_nF)_{n \ge 0}$ はホモロジー的 δ 関手で、射影対象 $P$ について $n \ge 1$ で $L_nF(P) = 0$、$F$ が右完全なら $L_0F \cong F$ である。反変関手 $G\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B$ の $R^\bullet G$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上のコホモロジー的 δ 関手で、$\mathcal A$ の短完全列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ ごとに連結射 $R^nG(X') \to R^{n+1}G(X'')$ をもつ。

証明（定理 5.2）

1. $F$ は加法関手なので、鎖写像を鎖写像に、鎖ホモトピーを鎖ホモトピーに写します（$\varphi - \varphi' = dh + hd$ なら $F\varphi - F\varphi' = F(d)F(h) + F(h)F(d)$）。$f$ の二つの持ち上げはホモトピックなので（定理 3.1 の 1）、命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2 により $R^nF(f)$ は持ち上げによりません。$g f$ の持ち上げとして持ち上げの合成が、$1_X$ の持ち上げとして $1_{I_X}$ が、$f + f'$ の持ち上げとして持ち上げの和がとれるので、$R^nF$ は加法関手です（同じ命題の 1）。$c_I$ が $\alpha$ によらないことも同じ理由です。定理 3.1 の 3 により $\alpha$ はホモトピー同値で、$F$ はホモトピーと合成を保つので $F(\alpha)$ もホモトピー同値で、$c_I$ は同型です（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 3）。最後に、$\alpha'\colon I' \to I_Y$ と $\beta\colon I_X \to I$ を恒等射の持ち上げとすると、$\alpha' \psi \beta$ は $f$ の持ち上げ $I_X \to I_Y$ なので $R^nF(f) = c_{I'} H^n(F\psi) H^n(F\beta)$ で、$\alpha\beta \simeq 1$ から $H^n(F\beta) = c_I^{-1}$ です。

2. $J = J_E$ の包含 $i$ と射影 $p$ は各次数で双積の包含と射影で、$F$ は双積を保つので（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）、各次数で $0 \to F(I_{X'}^n) \to F(J^n) \to F(I_{X''}^n) \to 0$ は短完全です（補題 2.1 の 4）。命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4 によりこれは複体の短完全列で、定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］ により長完全列

$$0 \to H^0(F I_{X'}) \to H^0(F J) \to H^0(F I_{X''}) \xrightarrow{\delta^0} H^1(F I_{X'}) \to \cdots$$

があります（複体は負の次数で $0$ なので $H^{-1}(F I_{X''}) = 0$）。$i$ は $u$ の持ち上げ $I_{X'} \to J$、$p$ は $v$ の持ち上げ $J \to I_{X''}$ なので、1 により $c_J H^n(Fi) = R^nF(u)$、$H^n(Fp) = R^nF(v) c_J$ です。同型 $c_J$ で中央の項を $R^nF(X)$ に移すと、列 $0 \to R^0F(X') \to R^0F(X) \to R^0F(X'') \xrightarrow{\delta^0_E} R^1F(X') \to \cdots$ は完全です。

自然性を示します。短完全列の射 $(g', g, g'')\colon E \to E_1$ について、定理 3.1 の 1 で $g', g''$ の持ち上げ $\varphi'\colon I_{X'} \to I_{Y'}$、$\varphi''\colon I_{X''} \to I_{Y''}$ をとり、補題 3.4 の 1 で $(\varphi', \varphi, \varphi'')$ を複体の短完全列の射に延ばします。$F$ で写すと $F(I_{X'}) \to F(J_E) \to F(I_{X''})$ から $F(I_{Y'}) \to F(J_{E_1}) \to F(I_{Y''})$ への短完全列の射になり（行列の等式は $F$ で保たれる）、命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により $\delta^n_{E_1} H^n(F\varphi'') = H^{n+1}(F\varphi') \delta^n_E$、すなわち $\delta^n_{E_1} R^nF(g'') = R^{n+1}F(g') \delta^n_E$ です。

3. $I$ を次数 $0$ だけに置いた複体と $1_I$ は $I$ の入射分解なので、1 により $n \ge 1$ の $R^nF(I)$ は、次数 $0$ だけに $F(I)$ を置いた複体の $H^n$、すなわち $0$ と同型です。$F$ が左完全なら、$0 \to X \xrightarrow{\eta_X} I_X^0 \xrightarrow{d^0} I_X^1$ は完全なので $0 \to FX \to F(I_X^0) \to F(I_X^1)$ も完全で、$F(\eta_X)$ は $F(d^0)$ の核です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。$H^0(F(I_X)) = \operatorname{Coker}(0 \to Z^0) = Z^0(F(I_X))$ なので、$F(X) \cong R^0F(X)$ です。$f$ の持ち上げ $\varphi$ は $\varphi^0 \eta_X = \eta_Y f$ を満たすので、この同型は $X$ について自然です。

4. 射影分解について、定理 3.1・補題 3.3・補題 3.4 の 2 を使い、$F(P)$ を次数 $\le 0$ の複体として 1〜3 と同じ議論をします。連結射は複体の短完全列 $0 \to F(P') \to F(P) \to F(P'') \to 0$ の連結射 $H^{-n}(F P'') \to H^{-n+1}(F P')$、すなわち $L_nF(X'') \to L_{n-1}F(X')$ で、長完全列は $H^1(F P') = 0$ のところで $L_0F(X'') \to 0$ と終わります。$F$ が右完全なら $F(P_1) \to F(P_0) \to F(X) \to 0$ が完全で、$F(\varepsilon)$ は $F(d_1)$ の余核なので（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）、$Z^0(F(P)) = F(P_0)$ と合わせて $L_0F(X) = \operatorname{Coker}(F(P_1) \to F(P_0)) \cong F(X)$ です。反変関手の主張は、1〜3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$（十分に入射対象をもつ）と $G$ に適用したものです。

∎

系 5.3（導来関手の普遍性）✓

1. $T, S$ をともに普遍なコホモロジー的（またはともに普遍なホモロジー的）δ 関手、$\theta\colon T^0 \to S^0$ を自然同型とする。$\theta$ を次数 $0$ の成分とする δ 関手の射 $T \to S$ はただ一つで、それは同型である。
2. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもつなら $R^\bullet F$ は普遍である。十分に射影対象をもつなら $L_\bullet F$ と、反変関手 $G$ の $R^\bullet G$ は普遍である。
3. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもち $F$ が左完全とする。δ 関手 $T$ が、すべての $n \ge 1$ で $T^n$ が消去可能で、自然同型 $\theta\colon F \to T^0$ をもつなら、$\theta$ と 定理 5.2 の 3 の同型を合わせた $R^0F \cong T^0$ を延長する δ 関手の同型 $R^\bullet F \cong T$ がただ一つある。$F$ が右完全なとき、$L_\bullet F$ について双対の主張が成り立つ。

証明（系 5.3）

1. コホモロジー的な場合、$T$ の普遍性から $\theta$ を延長する射 $f\colon T \to S$ が、$S$ の普遍性から $\theta^{-1}$ を延長する射 $g\colon S \to T$ がただ一つずつあります。$gf$ と $1_T$ はどちらも $1_{T^0}$ を延長する射 $T \to T$ なので、一意性から $gf = 1_T$ です。同様に $fg = 1_S$ です。ホモロジー的な場合は、普遍性の向き（定義 4.2 の 2）に合わせて $S$ と $T$ の役割を入れ替えれば同じです。

2. 選んだ入射分解の $\eta_X\colon X \to I_X^0$ は mono で、定理 5.2 の 3 により $R^nF(I_X^0) = 0$（$n \ge 1$）なので、$R^nF(\eta_X)$ は $0$ を経由して $0$ です。よって $R^nF$ は消去可能で、定理 5.2 の 2 と 定理 4.4 の 1 により $R^\bullet F$ は普遍です。$L_\bullet F$ は、epi $\varepsilon\colon P_0 \to X$ と $L_nF(P_0) = 0$ から余消去可能で、定理 5.2 の 4 と 定理 4.4 の 2 によります。$R^\bullet G$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上の $R^\bullet$ なので最初の主張に含まれます。

3. 定理 4.4 により $T$ は普遍で、2 により $R^\bullet F$ も普遍なので、1 を適用します。

∎

$F$ が左完全なら、$R^\bullet F$ は「$F$ から始まる長完全列を与える最も普遍的な方法」です。導来関手を分解で計算するのは、この普遍的な対象の一つの実現にすぎません。次に、入射対象以外の分解でも計算できることを示します。

定義 5.4（F 非輪状対象・F 非輪状分解）↗

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ を加法関手とする。対象 $K$ が $F$ 非輪状であるとは、すべての $n \ge 1$ で $R^nF(K) = 0$ となることをいう。$X$ の右分解 $X \to K$ で各 $K^n$ が $F$ 非輪状なものを $F$ 非輪状分解という。双対に、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、$L_nF(K) = 0$（$n \ge 1$）となる $K$ を（左導来関手について）$F$ 非輪状といい、そのような対象からなる左分解を $F$ 非輪状分解という。

定理 5.2 の 3 により入射対象は $F$ 非輪状なので、入射分解は $F$ 非輪状分解の特別な場合です。

補題 5.5（非輪状対象の完全複体）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は左完全とする。$C$ が下に有界な非輪状複体で、各 $C^n$ が $F$ 非輪状なら、各 $Z^n(C)$ は $F$ 非輪状で、$F(C)$ は非輪状である。双対に、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもち $F$ が右完全なら、上に有界な非輪状複体で各項が（左導来関手について）$F$ 非輪状なものを $F$ は非輪状な複体に写す。

証明（補題 5.5）

$k < m$ で $C^k = 0$ とします。補題 2.1 の 3 により、各 $n$ で $0 \to Z^n \xrightarrow{\iota^n} C^n \xrightarrow{\bar d^n} Z^{n+1} \to 0$ は短完全です（$Z^n = Z^n(C)$）。$n \le m$ では $Z^n = 0$ です（$n < m$ では $C^n = 0$、$n = m$ では $Z^m = \operatorname{Coker}(0 \to Z^m) = H^m(C) = 0$）。

$Z^n$ が $F$ 非輪状なら $Z^{n+1}$ も $F$ 非輪状であることを示します。上の短完全列の長完全列（定理 5.2 の 2）の一部 $R^jF(C^n) \to R^jF(Z^{n+1}) \to R^{j+1}F(Z^n)$ は、$j \ge 1$ で両端が $0$ なので $R^jF(Z^{n+1}) = 0$ です。帰納法ですべての $Z^n$ は $F$ 非輪状です。

すると長完全列の始まり $0 \to R^0F(Z^n) \to R^0F(C^n) \to R^0F(Z^{n+1}) \to R^1F(Z^n) = 0$ は短完全で、自然同型 $F \cong R^0F$（定理 5.2 の 3）で移すと $0 \to F(Z^n) \xrightarrow{F\iota^n} F(C^n) \xrightarrow{F \bar d^n} F(Z^{n+1}) \to 0$ は短完全です。$F(C)$ の微分は $F(d^n) = F(\iota^{n+1}) F(\bar d^n)$ なので、補題 2.1 の 2 により $F(C)$ は非輪状です。

双対の主張は、$L_\bullet F$ の長完全列と $L_0F \cong F$（定理 5.2 の 4）を使い、上の端から下へ同じ帰納法を行えば得られます。

∎

定理 5.6（非輪状分解による計算）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は左完全とする。$\eta_K\colon X \to K$ を $F$ 非輪状分解、$\alpha\colon K \to I_X$ を $1_X$ の持ち上げとすると、$H^n(F(\alpha))\colon H^n(F(K)) \to R^nF(X)$ は $\alpha$ によらない同型である。双対に、$\mathcal A$ が十分に射影対象をもち $F$ が右完全なら、$F$ 非輪状な左分解 $Q \to X$ について $H_n(F(Q)) \cong L_nF(X)$ である。

証明（定理 5.6）

$\alpha$ は 定理 3.1 の 1 により存在し、二つの持ち上げはホモトピックで $F$ はホモトピーを保つので、$H^n(F(\alpha))$ は $\alpha$ によりません（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2）。

$\alpha$ は擬同型。 $n \ne 0$ では $H^n(K) = 0 = H^n(I_X)$ です（増強複体の完全性）。$n = 0$ では、$0 \to X \to K^0 \to K^1$ の完全性から $\eta_K = \iota_K e_K$ となる同型 $e_K\colon X \to Z^0(K)$ があり（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2) と核の一意性）、$I_X$ についても同様に $e_I$ があります。$\iota_I Z^0(\alpha) e_K = \alpha^0 \eta_K = \eta_X = \iota_I e_I$ と $\iota_I$ の mono 性から $Z^0(\alpha) e_K = e_I$ で、$Z^0(\alpha)$ は同型です。$H^0 = Z^0$ なので $H^0(\alpha)$ は同型です。

$F(\alpha)$ は擬同型。 系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］ により $\operatorname{Cone}(\alpha)$ は非輪状で、次数 $-1$ より下では $0$ です。その項 $K^{n+1} \oplus I_X^n$ は $F$ 非輪状です。実際 $R^jF$ は加法関手なので双積を保ち（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）、$R^jF(K^{n+1} \oplus I_X^n) \cong R^jF(K^{n+1}) \oplus R^jF(I_X^n) = 0$ です。補題 5.5 により $F(\operatorname{Cone}(\alpha))$ は非輪状です。$F$ は双積と微分の成分 $-d, \alpha, d$ を保つので、$F(\operatorname{Cone}(\alpha))$ は $\operatorname{Cone}(F(\alpha))$ と標準的に同型です（定義 5.1［鎖複体とホモトピー圏］）。再び 系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］ により $F(\alpha)$ は擬同型で、$H^n(F(\alpha))$ は同型です。

双対の主張も、定理 3.1 の 2 と 補題 5.5 の双対の主張を使って同じ議論で得られます。ただし持ち上げの向きは逆で、$1_X$ の持ち上げ $\alpha\colon P_X \to Q$ をとり、上に有界な $\operatorname{Cone}(\alpha)$（項は $P_X$ と $Q$ の項の双積で、$L_jF$ が双積を保つので $F$ 非輪状）に 補題 5.5 の双対の主張を使います。$H_0(\alpha)$ が同型であることは、$H_0(P_X) = \operatorname{Coker}(P_1 \to P_0)$ と $H_0(Q) = \operatorname{Coker}(Q_1 \to Q_0)$ が増強写像によりどちらも $X$ と同型であることから、上の $n = 0$ の議論の双対で示せます。

∎

この定理は、$R^nF$ を入射分解より扱いやすい分解で計算できることを保証します。たとえば層のコホモロジーは脆弱層（flasque sheaf）による分解で、$\operatorname{Tor}$ は平坦加群による分解で計算できます（演習 9.4）。

補題 5.7（次元ずらし）✓

$\mathcal A$ は十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ は左完全とする。$E\colon 0 \to X \xrightarrow{u} K \xrightarrow{v} C \to 0$ を短完全列とし、$K$ は $F$ 非輪状とする。

1. $n \ge 1$ について、連結射 $\delta^n_E\colon R^nF(C) \to R^{n+1}F(X)$ は同型である。
2. $\delta^0_E$ は同型 $\operatorname{Coker}\bigl(F(v)\colon F(K) \to F(C)\bigr) \cong R^1F(X)$ を誘導する。
3. 反変関手 $G\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathcal B$ が左完全で $\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、短完全列 $0 \to K \to P \to C \to 0$ で $P$ が $G$ 非輪状なら、$n \ge 1$ で $R^nG(K) \cong R^{n+1}G(C)$、また $R^1G(C) \cong \operatorname{Coker}(G(P) \to G(K))$ である。
4. $\mathcal A$ が十分に射影対象をもち $F$ が右完全のとき、短完全列 $0 \to K \to P \to C \to 0$ で $P$ が $F$ 非輪状なら、$n \ge 1$ で $L_{n+1}F(C) \cong L_nF(K)$、また $L_1F(C) \cong \ker(F(K) \to F(P))$ である。

証明（補題 5.7）

1. 長完全列（定理 5.2 の 2）の一部 $R^nF(K) \to R^nF(C) \xrightarrow{\delta^n} R^{n+1}F(X) \to R^{n+1}F(K)$ の両端は $0$ なので、$\delta^n$ は mono かつ epi（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）で、同型です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 2）。

2. $R^0F(K) \to R^0F(C) \xrightarrow{\delta^0} R^1F(X) \to R^1F(K) = 0$ は完全なので、$\delta^0$ は $R^0F(v)$ の余核です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。自然同型 $F \cong R^0F$（定理 5.2 の 3）で $R^0F(v)$ を $F(v)$ に取り替えます。

3・4. $R^\bullet G$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ 上のコホモロジー的 δ 関手で、$0 \to K \to P \to C \to 0$ は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の短完全列 $0 \to C \to P \to K \to 0$ です（定理 5.2 の 4）。1・2 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ と $G$ に適用すると 3 を得ます。4 は $L_\bullet F$ の長完全列 $L_{n+1}F(P) \to L_{n+1}F(C) \to L_nF(K) \to L_nF(P)$ と $0 = L_1F(P) \to L_1F(C) \to L_0F(K) \to L_0F(P)$ に、$L_0F \cong F$（定理 5.2 の 4）を合わせて同じ議論をします。

∎

6. Ext と平衡性

$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X, -)\colon \mathcal A \to \mathsf{Ab}$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-, Y)\colon \mathcal A^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ は左完全な加法関手です（命題 5.5［加法圏とアーベル圏］）。$\mathsf{Ab}$ はアーベル圏です（命題 4.6［加法圏とアーベル圏］）。

定義 6.1（アーベル圏の Ext）↗

$X, Y$ を $\mathcal A$ の対象とする。

1. $\mathcal A$ が十分に入射対象をもつとき、$\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y) = R^n\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X, -)(Y) = H^n(\operatorname{Hom}(X, I_Y))$ と定める。射 $f\colon X \to X'$ には、鎖写像 $\operatorname{Hom}(f, I_Y)\colon \operatorname{Hom}(X', I_Y) \to \operatorname{Hom}(X, I_Y)$（$b \mapsto bf$）が誘導する射 $\operatorname{Ext}^n(f, Y)$ を対応させる。
2. $\mathcal A$ が十分に射影対象をもつとき、$\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y) = R^n\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(-, Y)(X) = H^n(\operatorname{Hom}(P_X, Y))$ と定める（定義 5.1 の 3）。射 $g\colon Y \to Y'$ には、鎖写像 $\operatorname{Hom}(P_X, g)$（$c \mapsto gc$）が誘導する射 $\operatorname{Ext}^n(X, g)$ を対応させる。

どちらの定義でも、二つの変数の作用は鎖の水準で $b \mapsto \psi b f$ の形をしていて可換なので、$\operatorname{Ext}^n$ は第 1 変数について反変、第 2 変数について共変な加法的双関手です。定理 5.2 の 3 により $\operatorname{Ext}^0(X, Y) \cong \operatorname{Hom}(X, Y)$ です。$\mathcal A$ が射影対象と入射対象を両方十分にもつとき、二つの定義が一致することが次の定理です。

次の定理の証明の筋は、$P_p$（射影分解）を横、$I^q$（入射分解）を縦に並べた格子 $\operatorname{Hom}(P_p, I^q)$ を作り、これを「左の列」と「上の行」の両方から見ることです。左の列は $\operatorname{Hom}(X, I^q)$、上の行は $\operatorname{Hom}(P_p, Y)$ で、どちらも格子全体の全複体と同じコホモロジーをもつので、二つのコホモロジーが一致します。

Ext の平衡性の証明で使う二重複体。横方向は射影分解 P に沿った行で、各 I^q が入射対象なので完全。縦方向は入射分解 I に沿った列で、各 P_p が射影対象なので完全。左端の列 Hom(X, I^q) と上端の行 Hom(P_p, Y) が、どちらも格子の全複体に写る。

定理 6.2（Ext の平衡性）✓

1. $\varepsilon\colon P \to X$ を $X$ の射影分解、$\eta\colon Y \to I$ を $Y$ の入射分解とする。同型

$$\beta\colon H^n(\operatorname{Hom}(P, Y)) \xrightarrow{\ \sim\ } H^n(\operatorname{Hom}(X, I)) \qquad (n \ge 0)$$

があり、次の意味で自然である：射 $f\colon X' \to X$、$g\colon Y \to Y'$ と $X'$ の射影分解 $P'$、$Y'$ の入射分解 $I'$、持ち上げ $\varphi\colon P' \to P$（$f$ の）、$\psi\colon I \to I'$（$g$ の）について、$\beta' H^n(\operatorname{Hom}(\varphi, g)) = H^n(\operatorname{Hom}(f, \psi))\, \beta$ が成り立つ。ここで $\operatorname{Hom}(\varphi, g)(c) = g c \varphi$、$\operatorname{Hom}(f, \psi)(b) = \psi b f$ である。 2. $\mathcal A$ が十分に射影対象と入射対象をもつなら、定義 6.1 の 1 と 2 の $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y)$ は両変数について自然に同型である。したがって $\operatorname{Ext}^\bullet(X, -)$ と $\operatorname{Ext}^\bullet(-, Y)$ はどちらも δ 関手で、短完全列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ から長完全列 $0 \to \operatorname{Hom}(X'', Y) \to \operatorname{Hom}(X, Y) \to \operatorname{Hom}(X', Y) \to \operatorname{Ext}^1(X'', Y) \to \cdots$ が得られる。

証明（定理 6.2）

1. $C^{p,q} = \operatorname{Hom}(P_p, I^q)$（$p, q \ge 0$）とし、$d_h\colon C^{p,q} \to C^{p+1,q}$ を $a \mapsto a d^P_{p+1}$、$d_v\colon C^{p,q} \to C^{p,q+1}$ を $a \mapsto d_I^q a$ とします。$d_h d_h = 0$、$d_v d_v = 0$、$d_v d_h = d_h d_v$（合成の結合律）なので、$C$ は $\mathsf{Ab}$ の第一象限の二重複体です（定義 7.1［鎖複体とホモトピー圏］）。

行。 $q$ を固定します。$\operatorname{Hom}(-, I^q)$ は完全関手で（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の双対の主張）、$\cdots \to P_1 \to P_0 \to X \to 0$ は完全なので、矢印を逆にした $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ の完全列（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (3)）を写した

$$0 \to \operatorname{Hom}(X, I^q) \xrightarrow{\varepsilon^*} C^{0,q} \xrightarrow{d_h} C^{1,q} \xrightarrow{d_h} \cdots$$

は完全です（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (1)・(2)）。$K = \operatorname{Hom}(X, I)$ は $d_K = (d_I)_*$ による複体で、$d_v \varepsilon^* = \varepsilon^* d_K$ です。系 7.3［鎖複体とホモトピー圏］ により、$a\colon \operatorname{Hom}(X, I) \to \operatorname{Tot}(C)$（$b \mapsto b\varepsilon \in C^{0,n}$）は擬同型です。

列。 $p$ を固定すると、$\operatorname{Hom}(P_p, -)$ は完全関手で（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、$0 \to Y \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ は完全なので、$0 \to \operatorname{Hom}(P_p, Y) \xrightarrow{\eta_*} C^{p,0} \xrightarrow{d_v} C^{p,1} \to \cdots$ は完全です。$K' = \operatorname{Hom}(P, Y)$ について $d_h \eta_* = \eta_* d_{K'}$ なので、同じ系の列の場合により $b'\colon \operatorname{Hom}(P, Y) \to \operatorname{Tot}(C)$（$c \mapsto \eta c \in C^{n,0}$）は擬同型です。

そこで $\beta = H^n(a)^{-1} H^n(b')$ と定めます。

自然性。 $C'$ を $P', I'$ から同じように作った二重複体とし、$\Phi\colon C^{p,q} \to C'^{p,q}$ を $a \mapsto \psi^q a \varphi_p$ とします。$\varphi, \psi$ は鎖写像なので $\Phi$ は $d_h, d_v$ と可換で、双次数を保つので $\operatorname{Tot}(\Phi)\colon \operatorname{Tot}(C) \to \operatorname{Tot}(C')$ は鎖写像です（全複体の符号 $(-1)^p$ は $\Phi$ と可換）。$b \in \operatorname{Hom}(X, I^q)$ について $\Phi(b\varepsilon) = \psi b \varepsilon \varphi_0 = \psi b f \varepsilon'$ なので $\operatorname{Tot}(\Phi)\, a = a' \operatorname{Hom}(f, \psi)$、$c \in \operatorname{Hom}(P_p, Y)$ について $\Phi(\eta c) = \psi^0 \eta c \varphi_p = \eta' g c \varphi_p$ なので $\operatorname{Tot}(\Phi)\, b' = b'_1 \operatorname{Hom}(\varphi, g)$ です（$a', b'_1$ は $C'$ についての擬同型）。$H^n$ をとって整理すると $\beta' H^n(\operatorname{Hom}(\varphi, g)) = H^n(\operatorname{Hom}(f, \psi)) \beta$ を得ます。

2. 選んだ分解 $P_X$、$I_Y$ に 1 を使います。定義 1 での $\operatorname{Ext}^n(f, g) = \operatorname{Ext}^n(X', g) \operatorname{Ext}^n(f, Y)$ は鎖の水準で $\operatorname{Hom}(X', \psi) \circ \operatorname{Hom}(f, I_Y) = \operatorname{Hom}(f, \psi)$ が誘導する射で、定義 2 では $\operatorname{Hom}(\varphi, g)$ が誘導する射です。したがって 1 の自然性は、$\beta$ が二つの定義の間の両変数について自然な同型であることを意味します。定義 1 では $\operatorname{Ext}^\bullet(X, -) = R^\bullet \operatorname{Hom}(X, -)$、定義 2 では $\operatorname{Ext}^\bullet(-, Y) = R^\bullet \operatorname{Hom}(-, Y)$ が δ 関手で（定理 5.2 の 2・4）、自然同型で連結射を移せば、どちらの定義でも両方が δ 関手になります。長完全列の最初の 3 項は $\operatorname{Ext}^0 \cong \operatorname{Hom}$（定理 5.2 の 3 を $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）です。

∎

この証明は、加群の場合の既存の議論（命題 4.7［Tor・Ext と深さ］ の次元ずらしによる帰納法）と違い、同型を一つの二重複体から「両側へ」作るので、自然性が自動的についてきます。二重複体の全複体は、スペクトル系列の章でこの比較をさらに精密にする出発点になります。

次は、完全な随伴をもつ関手と導来関手の関係です。群のコホモロジーの Shapiro の補題や、環の準同型に沿った係数の制限がこの形をしています。

命題 6.3（随伴と導来関手（Shapiro 型の補題））✓

$G\colon \mathcal A \to \mathcal B$ をアーベル圏の間の関手とし、左随伴 $L\colon \mathcal B \to \mathcal A$ をもつとする（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。$G$ と $L$ はともに完全であるとする。

1. $G$ は入射対象を入射対象に、$\mathcal A$ の入射分解を $\mathcal B$ の入射分解に写す。
2. $\mathcal A, \mathcal B$ が十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal B \to \mathcal C$ が左完全なら、δ 関手の同型 $R^\bullet(F G) \cong (R^\bullet F) \circ G$ がある。
3. $\mathcal A, \mathcal B$ が十分に入射対象をもつなら、$X \in \mathcal A$、$Y \in \mathcal B$ について両変数に自然な同型 $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal B}(Y, GX) \cong \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(LY, X)$ がある。

証明（命題 6.3）

1. $L$ は完全なので mono を保ち、命題 4.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1 により $G$ は入射対象を保ちます。$G$ は完全なので完全列 $0 \to X \to I^0 \to I^1 \to \cdots$ を完全列に写します（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (1)・(2)）。$G$ は加法関手です（命題 4.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1）。

2. $G$ は完全で $F$ は左完全なので $FG$ は左完全です。$G$ は短完全列を短完全列に、その射を射に写すので、$E$ に $\delta_{GE}$ を対応させると $(R^nF \circ G)_n$ は δ 関手です（定理 5.2 の 2）。$X \to I_X^0$ は mono で、$G$ で写すと入射対象 $G(I_X^0)$ への mono なので、$R^nF(G(-))$（$n \ge 1$）は消去可能です（定理 5.2 の 3）。次数 $0$ では 定理 5.2 の 3 を 2 回使って $R^0F(GX) \cong FGX \cong R^0(FG)(X)$ です。系 5.3 の 3 により $R^\bullet(FG) \cong R^\bullet F \circ G$ です。

3. 1 により $G(I_X)$ は $GX$ の入射分解なので、定理 5.2 の 1 を $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(Y, -)$ に使うと $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal B}(Y, GX) \cong H^n(\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(Y, G I_X))$ です。この同型は $\operatorname{Hom}(Y, \alpha)$（$\alpha\colon G I_X \to I_{GX}$ は恒等射の持ち上げ）が誘導するので $Y$ について自然で、$x\colon X \to X_1$ の持ち上げ $\chi\colon I_X \to I_{X_1}$ について $G\chi$ は $Gx$ の持ち上げなので、定理 5.2 の 1 の後半により $X$ についても自然です。随伴の全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(Y, G I^q) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(LY, I^q)$ は両変数について自然なので、$d_I$ との可換性から複体の同型 $\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(Y, G I_X) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(LY, I_X)$ を与え、$Y$ と $\chi$ について自然です。$H^n$ をとると、右辺は $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(LY, X)$ です。

∎

定義 6.4（射影次元・入射次元・大域次元）↗

$\mathcal A$ をアーベル圏とする。対象 $X$ の射影次元 $\operatorname{pd} X$ を、長さ $n$ 以下の射影分解をもつ最小の $n$（なければ $\infty$）と定める。同様に入射分解で入射次元 $\operatorname{id} X$ を定める。$\mathcal A$ が十分に射影対象と入射対象をもつとき、$\sup_X \operatorname{pd} X$ を $\mathcal A$ の大域次元 $\operatorname{gl.dim} \mathcal A$ という。

命題 6.5（次元と Ext の消滅）✓

$\mathcal A$ は十分に射影対象と入射対象をもつとする。対象 $Y$ と $n \ge 0$ について次は同値である。

• (a) $\operatorname{id} Y \le n$。
• (b) すべての $X$ と $k > n$ について $\operatorname{Ext}^k(X, Y) = 0$。
• (c) すべての $X$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) = 0$。

双対に、$\operatorname{pd} X \le n$ はすべての $Y$ で $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) = 0$ となることと同値である。とくに $\operatorname{gl.dim}\mathcal A = \sup_Y \operatorname{id} Y$ である。

証明（命題 6.5）

(a) ⇒ (b): 長さ $n$ 以下の入射分解 $I$ をとると、定理 5.2 の 1 により $\operatorname{Ext}^k(X, Y) \cong H^k(\operatorname{Hom}(X, I))$ で、$k > n$ では $I^k = 0$ なので $0$ です。(b) ⇒ (c) は (b) で $k = n + 1$ とした場合です。

(c) ⇒ (a): $Y$ の入射分解 $I$ の増強複体に 補題 2.1 の 3 を使うと、$Z^0 = Z^0(I) \cong Y$ と短完全列 $0 \to Z^k \to I^k \to Z^{k+1} \to 0$（$k \ge 0$）が得られます。入射対象は $\operatorname{Hom}(X, -)$ 非輪状なので、補題 5.7 の 1 を $k = 0, 1, \ldots, n-1$ について使うと $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) \cong \operatorname{Ext}^n(X, Z^1) \cong \cdots \cong \operatorname{Ext}^1(X, Z^n)$ です（$n = 0$ なら何もしない）。よってすべての $X$ で $\operatorname{Ext}^1(X, Z^n) = 0$ です。mono $m\colon X' \to X$ と短完全列 $0 \to X' \to X \to X'' \to 0$ をとると、定理 6.2 の 2 の長完全列から $\operatorname{Hom}(X, Z^n) \xrightarrow{m^*} \operatorname{Hom}(X', Z^n) \to \operatorname{Ext}^1(X'', Z^n) = 0$ は完全で、$m^*$ は全射です。すなわち $X' \to Z^n$ はすべて $X$ に延び、$Z^n$ は入射対象です。$0 \to Z^{n-1} \to I^{n-1} \to Z^n \to 0$ までの短完全列を 補題 2.1 の 2 でつなぐと、$0 \to Y \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to Z^n \to 0$ は長さ $n$ 以下の入射分解です。

双対の主張は $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用したものです（定理 6.2 の 2 により $\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A^{\mathrm{op}}}(Y, X) \cong \operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(X, Y)$）。最後の主張は、どちらの上限も「すべての $X, Y$ で $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) = 0$ となる最小の $n$」に等しいことから従います。

∎

7. 加群の場合：既存の Tor・Ext との一致と Tor の平衡性の自然性

この節では $A$ を可換環とし、$\otimes = \otimes_A$、$\operatorname{Hom} = \operatorname{Hom}_A$ と書きます。$\mathsf{Mod}_A$ は十分に射影対象と入射対象をもつアーベル圏です（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。$- \otimes N\colon \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_A$ は右完全な加法関手です（定理 2.8［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。

命題 7.1（加群の Tor・Ext との一致）✓

1. $\mathsf{Mod}_A$ の射影分解・入射分解は、可換環論の意味の射影分解・入射分解（定義 3.1［Tor・Ext と深さ］）と同じものである。複体 $C$ について $H^n(C)$ は $\operatorname{Ker} d^n / \operatorname{Im} d^{n-1}$ と標準的に同型である。
2. $L_n(- \otimes N)(M) = H_n(P_M \otimes N)$ は、可換環論の $\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$（定義 4.1［Tor・Ext と深さ］）を射影分解 $P_M$ で計算したものであり、$M$ の射についての作用も一致する。$g\colon N \to N'$ に対する $\operatorname{Tor}_n(M, g) = H_n(P_M \otimes g)$ は δ 関手の射 $L_\bullet(- \otimes N) \to L_\bullet(- \otimes N')$ である。
3. 定義 6.1 の 2 の $\operatorname{Ext}^n_{\mathsf{Mod}_A}(M, N)$ は可換環論の $\operatorname{Ext}^n_A(M, N)$ を $P_M$ で計算したものであり、両変数の作用も一致する。定義 6.1 の 1 のものとは 定理 6.2 の 2 により両変数について自然に同型である。
4. $A = \mathbb Z$ のとき、$\operatorname{Ext}^1_{\mathsf{Ab}}(M, G)$ は代数的位相幾何の $\operatorname{Ext}(M, G)$（定義 3.2［コホモロジーと双対性］）と標準的に同型である。

証明（命題 7.1）

1. 命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1 により射影対象・入射対象は射影加群・入射加群で、補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (4) により列の完全性も同じ意味です。命題 4.6［加法圏とアーベル圏］ の 1 により $Z^n(C)$ は部分加群 $\operatorname{Ker} d^n$ で、$\bar d^{n-1}$ の余核は $\operatorname{Im} d^{n-1}$ による商です。

2. 1 により $H_n(P_M \otimes N)$ は通常のホモロジーで、$P_M$ は可換環論の意味の射影分解なので、これは定義どおり $\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$ です。$f\colon M \to M'$ について、どちらも持ち上げ $\varphi$ の $H_n(\varphi \otimes 1)$ です。最後の主張を示します。短完全列 $E$ の連結射は $0 \to P_{M'} \otimes N \to J_E \otimes N \to P_{M''} \otimes N \to 0$ の連結射で、射影分解 $J_E$ は $N$ によらずに選んであります（定理 5.2 の 4）。$1 \otimes g$ はこれから $N'$ についての同じ形の短完全列への射を与えるので、命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により連結射と可換です。

3. 定義 2 の $H^n(\operatorname{Hom}(P_M, N))$ は可換環論の定義そのもので、$M$ の射には持ち上げを、$N$ の射には $g_*$ を使う点も同じです。

4. 自由分解 $0 \to F_1 \xrightarrow{i} F_0 \to M \to 0$ は射影分解です（自由加群は射影的。補題 3.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。$\operatorname{Hom}(F_2, G) = 0$ なので $H^1(\operatorname{Hom}(F, G)) = \operatorname{Coker}(i^*)$ で、これが 定義 3.2［コホモロジーと双対性］ の $\operatorname{Ext}(M, G)$ です。定理 5.2 の 1（$\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に適用）により、これは $\operatorname{Ext}^1_{\mathsf{Ab}}(M, G) = H^1(\operatorname{Hom}(P_M, G))$ と標準的に同型です。

∎

可換環論の章では、$\operatorname{Tor}$ を第 2 変数の射影分解で計算しても同じ結果になること（定理 4.6［Tor・Ext と深さ］）を、次元ずらしの帰納法で示しました。その同型が $M$ と $N$ について自然であることは扱っていませんでした。δ 関手の普遍性を使うと、自然な同型が「ただ一つ」の形で得られます。

系 7.2（Tor の平衡性の自然性）✓

$N$ を $A$ 加群、$\varepsilon_Q\colon Q \to N$ を射影分解とする。

1. 同型の族 $\tau_n\colon \operatorname{Tor}_n^A(M, N) \to H_n(M \otimes Q)$（$n \ge 0$）で、$M$ について自然であり、$M$ の短完全列について連結射（左辺は 命題 7.1 の 2 の $L_\bullet(- \otimes N)$ のもの、右辺は複体の短完全列 $0 \to M' \otimes Q \to M \otimes Q \to M'' \otimes Q \to 0$ のもの）と可換であり、$n = 0$ では $\varepsilon \otimes 1$ と $1 \otimes \varepsilon_Q$ が与える同型 $\operatorname{Tor}_0(M, N) \cong M \otimes N \cong H_0(M \otimes Q)$ に一致するものが、ただ一つ存在する。
2. $\tau$ は $N$ についても自然である。すなわち $g\colon N \to N'$、$N'$ の射影分解 $Q'$、$g$ の持ち上げ $\psi\colon Q \to Q'$ について $H_n(M \otimes \psi)\, \tau_n = \tau'_n \operatorname{Tor}_n(M, g)$ が成り立つ。
3. とくに、$M$ と $N$ の両方について自然な同型 $\operatorname{Tor}_n^A(M, N) \cong \operatorname{Tor}_n^A(N, M)$ がある。

証明（系 7.2）

$T_n(M) = H_n(M \otimes Q)$ は普遍 δ 関手。 $M \mapsto M \otimes Q$ は $\mathsf{Mod}_A$ から複体の圏への加法関手で、$T_n$ は加法関手です。短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ について、各 $Q_q$ は射影的なので平坦で（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1）、$M' \otimes Q_q \to M \otimes Q_q$ は単射です（定義 4.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）。右完全性と合わせて $0 \to M' \otimes Q_q \to M \otimes Q_q \to M'' \otimes Q_q \to 0$ は完全なので、複体の短完全列が得られ（命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4）、定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］ と 命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により $T$ はホモロジー的 δ 関手です。$Q_1 \to Q_0 \to N \to 0$ は完全なので、右完全性から $M \otimes Q_1 \to M \otimes Q_0 \to M \otimes N \to 0$ は完全で、$1 \otimes \varepsilon_Q$ は $M$ について自然な同型 $T_0(M) \cong M \otimes N$ を誘導します。任意の $M$ は自由加群 $F$ からの全射 $q\colon F \to M$ を受けます（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2）。$F$ は平坦で、複体の同型 $F \otimes Q \cong Q \otimes F$（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1）と 補題 4.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により、$n \ge 1$ で $T_n(F) \cong H_n(Q) \otimes F = 0$ です（$Q$ は正の次数で完全）。よって $T_n(q) = 0$ で、$T_n$（$n \ge 1$）は余消去可能です。定理 4.4 の 2 により $T$ は普遍です。

1. 系 5.3 の 2 により $L_\bullet(- \otimes N)$ も普遍で、定理 5.2 の 4 により $L_0(- \otimes N) \cong - \otimes N$ です。次数 $0$ の同型 $\theta\colon L_0(- \otimes N) \cong - \otimes N \cong T_0$ に 系 5.3 の 1 を使うと、$\theta$ を延長する δ 関手の同型 $\tau$ がただ一つあります。命題 7.1 の 2 で左辺を $\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$ と読みます。

2. $N'$ と $Q'$ についての $T'$、$\tau'$ を同様に作ります。$M \otimes \psi\colon M \otimes Q \to M \otimes Q'$ は $M$ について自然な鎖写像で、$M$ の短完全列について複体の短完全列の射を与えるので、命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により $\beta_n = H_n(M \otimes \psi)$ は δ 関手の射 $T \to T'$ です。命題 7.1 の 2 により $\alpha_n = \operatorname{Tor}_n(-, g)$ も δ 関手の射です。$\beta \tau$ と $\tau' \alpha$ はどちらも δ 関手の射 $L_\bullet(- \otimes N) \to T'$ で、次数 $0$ では、始域と終域をそれぞれ $M \otimes N$、$M \otimes N'$ と同一視するとどちらも $1 \otimes g$ です（$\varepsilon_{Q'} \psi_0 = g \varepsilon_Q$ から $H_0(M \otimes \psi)$ は $1 \otimes g$ に対応）。$T'$ は普遍なので、次数 $0$ が等しい射は等しく（定義 4.2 の 2 の一意性）、$\beta\tau = \tau'\alpha$ です。

3. 1・2 で $Q = P_N$ とし、複体の同型 $M \otimes P_N \cong P_N \otimes M$（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1。自然なので微分と可換）を合成します。右辺のホモロジーは定義により $\operatorname{Tor}_n(N, M)$ です。$M$ についての自然性は $\tau$ と入れ替えの自然性から、$N$ についての自然性は 2 と、$\operatorname{Tor}_n(g, M) = H_n(\psi \otimes 1)$ であることから従います。

∎

注意 7.3（既存の平衡性との関係）

系 7.2 の 1 の一意性は、「$M$ について自然で、$M$ の短完全列の連結射と可換で、次数 $0$ で標準的な同型に一致する」同型の族が一つしかないことを言っています。可換環論の 定理 4.6［Tor・Ext と深さ］ の同型は $N$ の側の次元ずらしで作られていて、この性質を確かめていないので、ここでは $\tau$ をそれとは独立に作りました。$\operatorname{Tor}$ の平衡性は、定理 6.2 と同じく二重複体 $P_M \otimes Q$ の全複体からも示せます。その場合は鎖複体の添字で非輪状集成補題を使うことになります。

例 7.4（Abel 群の Ext を二通りに計算する）

$m \ge 1$ とし、$\mathsf{Ab}$ で $\operatorname{Ext}^n(\mathbb Z/m, G)$ を計算します。射影分解 $0 \to \mathbb Z \xrightarrow{m} \mathbb Z \to \mathbb Z/m \to 0$ に $\operatorname{Hom}(-, G)$ を施すと、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z, G) = G$ により複体 $G \xrightarrow{m} G$（次数 $0, 1$）になるので

$$\operatorname{Ext}^0(\mathbb Z/m, G) = \{x \in G \mid mx = 0\}, \qquad \operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/m, G) = G/mG, \qquad \operatorname{Ext}^n = 0 \ (n \ge 2)$$

です。これは代数的位相幾何の 補題 3.3［コホモロジーと双対性］ の計算と一致します（命題 7.1 の 4）。

$G = \mathbb Z$ のときは、入射分解 $0 \to \mathbb Z \to \mathbb Q \to \mathbb Q/\mathbb Z \to 0$（可除群は入射的。命題 3.6［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）でも計算できます。$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/m, \mathbb Q) = 0$、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/m, \mathbb Q/\mathbb Z) \cong \mathbb Z/m$（$1$ の行き先は位数が $m$ を割る元、すなわち $k/m$ の類）なので $\operatorname{Ext}^1(\mathbb Z/m, \mathbb Z) \cong \mathbb Z/m$ となり、$G/mG = \mathbb Z/m\mathbb Z$ と一致します。定理 6.2 が保証するのはこの一致です。

8. 逆極限の導来関手 lim¹

Abel 群の逆系 $(A_n, \theta_n\colon A_{n+1} \to A_n)_{n \in \mathbb N}$（$\mathbb N = \{1, 2, \ldots\}$）とその射は完備化と Artin–Rees の補題の章（定義 2.1［完備化と Artin–Rees の補題］、$A = \mathbb Z$ の場合）の意味です。順序集合 $\mathbb N$ を圏とみなすと、関手 $\mathbb N^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$ は隣り合う射の像 $\theta_n$ で決まるので、逆系の圏は関手圏 $[\mathbb N^{\mathrm{op}}, \mathsf{Ab}]$ と同じものです。これを $\mathsf{Inv}$ と書きます。$\mathsf{Inv}$ はアーベル圏で、核・余核と完全性は各 $n$ ごとに計算されます（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）。とくに $\mathsf{Inv}$ の短完全列は可換環論の章の意味の「逆系の完全列」と同じです。さらに $\mathsf{Inv}$ は Grothendieck 圏なので（命題 6.7［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 2）、十分に入射対象をもちます（定理 7.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。逆極限 $A \mapsto \varprojlim A_n$ は加法関手 $\mathsf{Inv} \to \mathsf{Ab}$ です。

定義 8.1（逆極限の導来関手）↗

$\varprojlim\colon \mathsf{Inv} \to \mathsf{Ab}$ の右導来関手を $\varprojlim^n = R^n \varprojlim$ と書く。とくに $\varprojlim^1$ を lim¹ と呼ぶ。また逆系 $A$ について、準同型 $\Delta_A\colon \prod_n A_n \to \prod_n A_n$ を $(x_n)_n \mapsto (x_n - \theta_n(x_{n+1}))_n$ で定める。

定理 8.2（lim¹ の記述と Mittag-Leffler 条件）✓

$A$ を Abel 群の逆系とする。

1. $\varprojlim A_n = \operatorname{Ker} \Delta_A$ であり、$A$ について自然な同型 $\varprojlim^1 A \cong \operatorname{Coker} \Delta_A$ がある。$n \ge 2$ では $\varprojlim^n A = 0$ である。
2. 逆系の短完全列 $0 \to A' \to A \to A'' \to 0$ から、完全列

$$0 \to \varprojlim A' \to \varprojlim A \to \varprojlim A'' \to \varprojlim^1 A' \to \varprojlim^1 A \to \varprojlim^1 A'' \to 0$$

が得られる。 3. $A$ が Mittag-Leffler 条件を満たせば $\varprojlim^1 A = 0$ である。

証明（定理 8.2）

δ 関手 $T$ を作る。 $C(A)$ を、次数 $0$ と $1$ に $\prod_n A_n$ を置き微分を $\Delta_A$ とする複体とし、$T^n(A) = H^n(C(A))$ とおきます。逆系の射 $f = (f_n)$ は $f_n \theta_n = \theta'_n f_{n+1}$ を満たすので $\prod f_n$ は $\Delta$ と可換で、$C$ は加法関手 $\mathsf{Inv} \to \mathrm{C}(\mathsf{Ab})$、各 $T^n$ は加法関手です。$T^0(A) = \operatorname{Ker} \Delta_A$ は整合する列 $\theta_n(x_{n+1}) = x_n$ の全体、すなわち $\varprojlim A_n$ です。$T^1(A) = \operatorname{Coker}\Delta_A$、$n \ge 2$ で $T^n = 0$ です。

逆系の短完全列は各 $n$ で短完全なので、成分ごとに見て $0 \to \prod A'_n \to \prod A_n \to \prod A''_n \to 0$ は完全です（全射性は各成分で逆像を選ぶ。公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）。補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (4) と 命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4 により $0 \to C(A') \to C(A) \to C(A'') \to 0$ は複体の短完全列で、定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］ と 命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ により $T$ はコホモロジー的 δ 関手で、その長完全列は 2 の 6 項の列です。とくに $\varprojlim = T^0$ は左完全です。

$T^1$ は消去可能。 $J_n = \prod_{k=1}^{n} A_k$ とし、$J_{n+1} \to J_n$ を最後の成分を忘れる射影 $\pi_n$ とします。$u_n\colon A_n \to J_n$ を $x \mapsto (\theta_{k,n}(x))_{k \le n}$ とすると、$\pi_n u_{n+1} = u_n \theta_n$ なので $u$ は逆系の射で、第 $n$ 成分が恒等写像なので各 $u_n$ は単射、すなわち $u$ は mono です（命題 5.7［加法圏とアーベル圏］）。$\Delta_J$ は全射です。実際、$(y_n) \in \prod J_n$ に対し、$s_n\colon J_n \to J_{n+1}$ を末尾に $0$ を足す写像として $x_1 = 0$、$x_{n+1} = s_n(x_n - y_n)$ と定めると、$\pi_n s_n = 1$ から $x_n - \pi_n(x_{n+1}) = y_n$ です。よって $T^1(J) = 0$ で、$T^1(u)$ は $0$ を経由して $0$ です。$n \ge 2$ の $T^n$ は $0$ なので自明に消去可能です。

1・2。 定理 4.4 の 1 により $T$ は普遍で、系 5.3 の 2 により $R^\bullet \varprojlim$ も普遍です。$\varprojlim$ は左完全なので $R^0 \varprojlim \cong \varprojlim = T^0$ で（定理 5.2 の 3）、系 5.3 の 1 により δ 関手の同型 $R^\bullet \varprojlim \cong T$ があります。これが 1 で、2 は $T$ の長完全列です。

3. 上の mono $u\colon A \to J$ の余核 $J/A$（各 $n$ で $J_n/u_n(A_n)$）をとると、$0 \to A \to J \to J/A \to 0$ は逆系の短完全列です。$A$ が Mittag-Leffler 条件を満たすので、定理 2.2［完備化と Artin–Rees の補題］ により $\varprojlim J \to \varprojlim (J/A)$ は全射です。2 の列の一部 $\varprojlim J \to \varprojlim(J/A) \to \varprojlim^1 A \to \varprojlim^1 J$ で、右端は 1 により $\operatorname{Coker}\Delta_J = 0$ です。最初の射が全射なので連結射は $0$ で、それが全射でもあるので $\varprojlim^1 A = 0$ です。

∎

既存の 定理 2.2［完備化と Artin–Rees の補題］ は「Mittag-Leffler 条件があれば逆極限は短完全列を保つ」という主張でした。導来関手の言葉では、それは $\varprojlim^1 A' = 0$ のおかげで 2 の 6 項の列が $\varprojlim A''$ のところで切れる、と読めます。代数的位相幾何では、$\varprojlim^1$ は CW 複体の増大列のコホモロジーを計算する Milnor の完全列に現れます。

例 8.3（lim¹ が 0 でない例）

素数 $p$ について、$A_n = \mathbb Z$、$\theta_n$ を $p$ 倍写像とする逆系を考えます。$(x_n) \in \varprojlim A_n$ なら $x_1 = p^k x_{k+1}$ がすべての $k$ で成り立つので $x_1 = 0$ で、同様にすべての $x_n = 0$、つまり $\varprojlim A_n = 0$ です。$\theta_{n,m}(A_m) = p^{m-n}\mathbb Z$ は $m$ について止まらず減少するので、Mittag-Leffler 条件は満たされません。

$\varprojlim^1 A = \operatorname{Coker}\Delta_A$ を計算します。$\mathbb Z_p = \varprojlim \mathbb Z/p^n$（例 3.3［完備化と Artin–Rees の補題］）への準同型 $\Sigma\colon \prod_n \mathbb Z \to \mathbb Z_p$ を $(y_n) \mapsto \bigl(\sum_{k=1}^{n} p^{k-1} y_k \bmod p^n\bigr)_n$ で定めます。$p$ 進展開により $\Sigma$ は全射です。$\Delta(x)_k = x_k - p x_{k+1}$ について和は打ち消し合い $\sum_{k \le n} p^{k-1}(x_k - p x_{k+1}) = x_1 - p^n x_{n+1}$ なので、$\Sigma(\Delta x)$ は整数 $x_1$ の像です。逆に $\Sigma(y) = m \in \mathbb Z$ なら、すべての $n$ で $m - \sum_{k=1}^{n} p^{k-1} y_k$ は $p^n$ で割り切れるので、$x_1 = m$、$x_{n+1} = \bigl(m - \sum_{k=1}^{n} p^{k-1} y_k\bigr)/p^n \in \mathbb Z$ とおけます。このとき $p^n x_{n+1} = p^{n-1} x_n - p^{n-1} y_n$ なので $x_n - p x_{n+1} = y_n$、すなわち $y = \Delta(x)$ です。よって $\Sigma$ は同型

$$\varprojlim^1 A \cong \mathbb Z_p/\mathbb Z$$

を誘導し、これは非可算で、とくに $0$ ではありません。

9. 演習

演習 9.1易

$\mathcal A$ が十分に入射対象をもち、$F\colon \mathcal A \to \mathcal B$ が完全関手なら、$n \ge 1$ で $R^nF = 0$ であること、すなわちすべての対象が $F$ 非輪状であることを示してください。

解答

完全関手は完全列を完全列に写すので（命題 5.4［加法圏とアーベル圏］ の (2)）、$0 \to F(X) \to F(I_X^0) \to F(I_X^1) \to \cdots$ は完全です。補題 2.1 の 1 により $n \ge 1$ で $H^n(F(I_X)) = 0$、すなわち $R^nF(X) = 0$ です。

演習 9.2標準

$R = \mathbb Z/4$ とし、$R$ 加群 $\mathbb Z/2$ について $\operatorname{Ext}^n_R(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2)$ をすべての $n$ について求めてください。(a) $\mathbb Z/2$ の射影分解で、(b) $R$ が $R$ 加群として入射的であること（例 3.6［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）を使った入射分解で計算し、結果が一致することを確かめてください。また $\mathbb Z/2$ の射影次元と $R$ の大域次元を求めてください。

解答

(a) $\cdots \xrightarrow{2} R \xrightarrow{2} R \xrightarrow{2} R \to \mathbb Z/2 \to 0$ は完全です（$2$ 倍写像の核も像も $2R$）。$\operatorname{Hom}_R(R, \mathbb Z/2) = \mathbb Z/2$ で、$2$ 倍が誘導する写像は $\mathbb Z/2$ 上の $2$ 倍、すなわち $0$ です。よって複体 $\mathbb Z/2 \xrightarrow{0} \mathbb Z/2 \xrightarrow{0} \cdots$ のコホモロジーとして、すべての $n \ge 0$ で $\operatorname{Ext}^n = \mathbb Z/2$ です。

(b) $\mathbb Z/2 \cong 2R \subset R$ により $0 \to \mathbb Z/2 \to R \xrightarrow{2} R \xrightarrow{2} \cdots$ は入射分解です。$\operatorname{Hom}_R(\mathbb Z/2, R) \cong \{ r \in R \mid 2r = 0 \} = 2R \cong \mathbb Z/2$ で、$2$ 倍が誘導する写像は $f \mapsto 2f$ ですが $f(1) \in 2R$ なので $2f = 0$ です。やはりすべての $n$ で $\operatorname{Ext}^n = \mathbb Z/2$ で、(a) と一致します（定理 6.2）。

すべての $n$ で $\operatorname{Ext}^{n+1}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2) \ne 0$ なので、命題 6.5 により $\operatorname{pd}\mathbb Z/2 = \operatorname{id}\mathbb Z/2 = \infty$ で、$\operatorname{gl.dim} R = \infty$ です。

演習 9.3標準

素数 $p$ について、$B_n = p^n\mathbb Z \subset \mathbb Z$ と包含写像からなる逆系 $B$ を考えます。定理 8.2 の 2・3 を使って $\varprojlim B = 0$、$\varprojlim^1 B \cong \mathbb Z_p/\mathbb Z$ を示してください。

解答

定数の逆系 $(\mathbb Z, 1)$ と、自然な全射を推移写像とする逆系 $(\mathbb Z/p^n)$ について、$0 \to B \to (\mathbb Z) \to (\mathbb Z/p^n) \to 0$ は各 $n$ で完全です。$\varprojlim B = \bigcap_n p^n\mathbb Z = 0$、$\varprojlim (\mathbb Z) = \mathbb Z$、$\varprojlim \mathbb Z/p^n = \mathbb Z_p$ です。定数の逆系は推移写像が全射なので Mittag-Leffler 条件を満たし、定理 8.2 の 3 により $\varprojlim^1 (\mathbb Z) = 0$ です。同じ定理の 2 の列は $0 \to 0 \to \mathbb Z \to \mathbb Z_p \to \varprojlim^1 B \to 0$ となるので、$\varprojlim^1 B \cong \mathbb Z_p/\mathbb Z$ です。$p^n\mathbb Z \cong \mathbb Z$（$x \mapsto x/p^n$）で同一視すると包含は $p$ 倍写像になるので、$B$ は 例 8.3 の逆系と同型で、結果も一致します。

演習 9.4難

可換環 $A$ 上の平坦加群 $F$ について、すべての $A$ 加群 $N$ と $n \ge 1$ で $\operatorname{Tor}_n^A(F, N) = 0$ であることを示し、それを使って、$M$ の平坦加群による左分解 $L \to M$ について $\operatorname{Tor}_n^A(M, N) \cong H_n(L \otimes N)$ であることを示してください。

解答

系 7.2 の 3 により $\operatorname{Tor}_n(F, N) \cong \operatorname{Tor}_n(N, F)$ で、第 2 変数が平坦なので可換環論の 命題 4.3［Tor・Ext と深さ］ の 2 により $0$ です。したがって平坦加群は（左導来関手について）$- \otimes N$ 非輪状で（命題 7.1 の 2）、平坦分解は $- \otimes N$ 非輪状分解です。$- \otimes N$ は右完全なので、定理 5.6 の双対の主張により $L_n(- \otimes N)(M) \cong H_n(L \otimes N)$ で、左辺は $\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$ です。

参考文献

• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — 第 2 章（§2.1 δ 関手、§2.2〜2.5 分解と導来関手、§2.7 Tor と Ext の平衡性）、§3.5（lim¹）。
• A. Grothendieck, “Sur quelques points d’algèbre homologique”, Tôhoku Mathematical Journal 9 (1957), 119–221 — 第 II 章（δ 関手と消去可能性、導来関手）。
• H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956 — 第 V 章（導来関手）、第 VI 章（Ext と Tor）。
• P. J. Hilton, U. Stammbach, A Course in Homological Algebra, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 4, Springer, 1997 — 第 IV 章（導来関手）。