次元と Ext の消滅

命題 6.5（「導来関手と δ 関手」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal A$ は十分に射影対象と入射対象をもつとする。対象 $Y$ と $n \ge 0$ について次は同値である。

(a) $\operatorname{id} Y \le n$ 。
(b) すべての $X$ と $k > n$ について $\operatorname{Ext}^k(X, Y) = 0$ 。
(c) すべての $X$ について $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) = 0$ 。

双対に、 $\operatorname{pd} X \le n$ はすべての $Y$ で $\operatorname{Ext}^{n+1}(X, Y) = 0$ となることと同値である。とくに $\operatorname{gl.dim}\mathcal A = \sup_Y \operatorname{id} Y$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
- 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手
  - 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
    核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
  - 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい✓命題 4.2・鎖複体とホモトピー圏
- 加法関手と双積✓命題 3.7・加法圏とアーベル圏
  - 有限積・有限余積・双積の一致✓命題 3.3・加法圏とアーベル圏
  - 加法の一意性✓命題 3.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏
  - 双積定義 3.2・加法圏とアーベル圏
  - 加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏
  - 複体の圏はアーベル圏✓命題 2.2・鎖複体とホモトピー圏（上で展開済み）
  - 蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - コホモロジーの核・余核による表示✓補題 2.6・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 馬蹄補題の分解の持ち上げ✓補題 3.4・導来関手と δ 関手
  - 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
  - 比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 連結射の自然性✓命題 3.3・鎖複体とホモトピー圏
  - 引き戻しは epi を保つ✓命題 4.5・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
  - 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
  - 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
Ext の平衡性✓定理 6.2・導来関手と δ 関手
- 二重複体・全複体定義 7.1・鎖複体とホモトピー圏
- 射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏この先をたどる →
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏この先をたどる →
- 各行が分解なら全複体への写像は擬同型✓系 7.3・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

大域次元 1 以下での対象の分類✓命題 7.1・導来圏と全導来関手
Abel 群の Ext の計算✓命題 6.2・Ext と拡大

次元と Ext の消滅

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件