蛇の補題

アーベル圏 $\mathcal A$ の可換図式

で、二つの行が完全であるとする（$fu = u'f'$、$f''v = v'f$）。$k'\colon K' \to A'$、$k\colon K \to A$、$k''\colon K'' \to A''$ を $f', f, f''$ の核、$c'\colon B' \to C'$、$c\colon B \to C$、$c''\colon B'' \to C''$ を余核とし、$u_K\colon K' \to K$、$v_K\colon K \to K''$、$u_C\colon C' \to C$、$v_C\colon C \to C''$ を $ku_K = uk'$、$k''v_K = vk$、$u_Cc' = cu'$、$v_Cc = c''v'$ で定まる射とする。

1. 射 $\delta\colon K'' \to C'$ があって、次の列は完全である。

   $$K' \xrightarrow{u_K} K \xrightarrow{v_K} K'' \xrightarrow{\delta} C' \xrightarrow{u_C} C \xrightarrow{v_C} C''$$

2. $u$ が mono なら $u_K$ は mono、$v'$ が epi なら $v_C$ は epi である。

3. $\delta$ は次の性質をもち、この性質で一意に決まる：射 $a\colon W \to A$、$x''\colon W \to K''$、$b'\colon W \to B'$ が $va = k''x''$、$u'b' = fa$ を満たせば $\delta x'' = c'b'$ である。元についても、$a \in_{\mathrm m} A$、$x'' \in_{\mathrm m} K''$、$b' \in_{\mathrm m} B'$ が $va \equiv k''x''$、$u'b' \equiv fa$ を満たせば $\delta x'' \equiv c'b'$ である。