核・余核・像・余像

$\mathcal C$ を零対象をもつ圏とし、$f\colon A \to B$ を射とする。

1. $f$ の核とは、射 $k\colon K \to A$ で $fk = 0$ を満たし、$fx = 0$ を満たす任意の $x\colon X \to A$ に対して $x = kx'$ となる $x'\colon X \to K$ がただ一つ存在するものをいう。$k = \ker f$ と書く。
2. 双対に、$f$ の余核とは、射 $c\colon B \to C$ で $cf = 0$ を満たし、$yf = 0$ を満たす任意の $y\colon B \to Y$ に対して $y = y'c$ となる $y'\colon C \to Y$ がただ一つ存在するものをいう。$c = \operatorname{coker} f$ と書く。
3. 核と余核が存在するとき、$f$ の像を $\operatorname{im} f = \ker(\operatorname{coker} f)$、余像を $\operatorname{coim} f = \operatorname{coker}(\ker f)$ と定める。
4. ある射の核になっている mono を正規 mono、ある射の余核になっている epi を正規 epi という。