層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる

定理 5.2（「層」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{O}$ を $X$ 上の環の前層とする。

$\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）である。射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ の核は包含 $\operatorname{Ker}\varphi \to \mathcal{F}$ 、余核は自然な射 $\mathcal{G} \to \operatorname{Coker}\varphi$ で、すべての $x$ で $(\operatorname{Ker}\varphi)_x = \operatorname{Ker}(\varphi_x)$ 、 $(\operatorname{Coker}\varphi)_x = \operatorname{Coker}(\varphi_x)$ 、 $(\operatorname{Im}\varphi)_x = \operatorname{Im}(\varphi_x)$ である。
$\varphi$ が mono であることは、すべての $\varphi_x$ が単射であること、またすべての $\varphi_U$ が単射であることと同値である。 $\varphi$ が epi であることは、すべての $\varphi_x$ が全射であることと同値である。
列 $\mathcal{F}' \xrightarrow{\varphi} \mathcal{F} \xrightarrow{\psi} \mathcal{F}''$ が $\mathcal{F}$ で完全（定義 5.1［加法圏とアーベル圏］）であることと、すべての $x$ で $\mathcal{F}'_x \to \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x$ が完全であることは同値である。
各点 $x$ について、茎を取る関手 $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}) \to \mathsf{Mod}_{\mathcal{O}_x}$ は完全関手である。層化関手 $a\colon \mathsf{PAb}(X) \to \mathsf{Ab}(X)$ は完全関手である。

とくに、 $\mathsf{Ab}(X)$ と、環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$ の $\mathsf{Mod}(\mathcal{O}_X)$ はアーベル圏である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 36 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加法圏定義 3.4・加法圏とアーベル圏
核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層
- 芽の族の層✓補題 4.2・層（上で展開済み）
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
    表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
    米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
- 加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限（上で展開済み）
加群のフィルター余極限は完全✓系 6.5・極限と余極限
- フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
- 集合のフィルター余極限の記述✓命題 6.3・極限と余極限
  - フィルター圏の有限な条件✓補題 6.2・極限と余極限
- フィルター圏・順極限・逆極限定義 6.1・極限と余極限
核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
芽の族の層✓補題 4.2・層
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
  - 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
- 加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
  - 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏
- 関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換
  - 宇宙の公理公理 2.2・圏・関手・自然変換
  - 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
  - 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換この先をたどる →
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
- 完全性の判定✓補題 5.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
逆像と順像の随伴✓定理 6.3・層
0 による延長と完全列✓命題 7.2・層
層の圏は Grothendieck 圏✓定理 8.2・層
定数層のコホモロジーと特異コホモロジー✓定理 4.1・層コホモロジーと直線束
指数完全列✓命題 7.1・層コホモロジーと直線束

層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

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