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米田の補題

定理 3.1（「米田の補題と表現可能関手」§3） ・ ✓公理まで証明済み

C\mathcal{C} を局所的に小さい圏、FF を C\mathcal{C} 上の前層、X∈CX \in \mathcal{C} とする。写像

θX,F:Nat⁡(hX,F)→F(X),α↦αX(idX)\theta_{X, F} : \operatorname{Nat}(h_X, F) \to F(X), \qquad \alpha \mapsto \alpha_X(\mathrm{id}_X)

は全単射で、逆写像は ξ∈F(X)\xi \in F(X) に自然変換 αξ\alpha^{\xi}、αWξ(u)=F(u)(ξ)\alpha^{\xi}_W(u) = F(u)(\xi)（u:W→Xu : W \to X）を対応させる。さらに θ\theta は XX と FF の両方について自然である。すなわち、射 f:Y→Xf : Y \to X と自然変換 τ:F⇒G\tau : F \Rightarrow G について

θY,G(τ∘α∘hf)=G(f)(τX(θX,F(α)))(α∈Nat⁡(hX,F)).\theta_{Y, G}(\tau \circ \alpha \circ h_f) = G(f)\bigl(\tau_X(\theta_{X, F}(\alpha))\bigr) \qquad (\alpha \in \operatorname{Nat}(h_X, F)).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

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