数学 › 圏論・ホモロジー代数 › Kan 拡張と前層の圏

稠密性定理

定理 2.2（「Kan 拡張と前層の圏」§2） ・ ✓公理まで証明済み

C\mathcal{C} を小さい圏、FF を C\mathcal{C} 上の前層とする。図式 yπF:el⁡(F)→PSh(C)\mathbf{y}\pi_F : \operatorname{el}(F) \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})、(X,x)↦hX(X, x) \mapsto h_X と、余錐 αx:hX⇒F\alpha^{x} : h_X \Rightarrow F（αWx(u)=F(u)(x)\alpha^{x}_W(u) = F(u)(x)）について、(F,(αx)(X,x))(F, (\alpha^{x})_{(X, x)}) は yπF\mathbf{y}\pi_F の余極限である。すなわち

F  ≅  colim⁡(X,x)∈el⁡(F)hX.F \;\cong\; \operatorname*{colim}_{(X, x) \in \operatorname{el}(F)} h_X .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問