極限・余極限・完備

図式 $D : J \to \mathcal{C}$ の極限とは、前層 $\operatorname{Cone}(-, D)$ の普遍元（定義 4.1［米田の補題と表現可能関手］）、すなわち錐 $(L, \lambda)$ であって、任意の錐 $(X, \kappa)$ に対し $\lambda_j \circ u = \kappa_j$（すべての $j$）を満たす射 $u : X \to L$ がただ一つ存在するものをいう。$L$ を $\lim D$ や $\varprojlim_j D_j$ と書く。双対的に、関手 $X \mapsto \{D \text{ 下の余錐で頂点 } X\}$ の普遍元を余極限といい、$\operatorname{colim} D$ や $\varinjlim_j D_j$ と書く。

• $\mathcal{C}$ が完備（余完備）であるとは、すべての小さい圏 $J$ について $J$ 型の図式がすべて極限（余極限）をもつことをいう。$J$ を有限圏（対象も射も有限個）に限るとき、有限完備（有限余完備）という。
• 関手 $G : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ が $D$ の極限を保つとは、$D$ の極限錐 $(L, \lambda)$ の像 $(GL, G\lambda)$ が $GD$ の極限錐であることをいう。