Hom は極限を保つ

命題 5.2（「極限と余極限」§5）・ ✓公理まで証明済み

$D : J \to \mathcal{C}$ を図式、 $(L, \lambda)$ を $D$ 上の錐とする。

$\mathsf{Set}$ で、図式 $E : J \to \mathsf{Set}$ の極限は $\{(x_j) \in \prod_j E_j \mid E(a)(x_i) = x_j\ (a : i \to j)\}$ と射影である。
$(L, \lambda)$ が $D$ の極限であるための必要十分条件は、すべての $X \in \mathcal{C}$ について、 $(\operatorname{Hom}(X, L), (\lambda_j \circ -)_j)$ が $\mathsf{Set}$ の図式 $\operatorname{Hom}(X, D_{-})$ の極限であることである。とくに $\operatorname{Hom}(X, -)$ は極限を保つ。
双対的に、 $\operatorname{Hom}(-, Y)$ は $\mathcal{C}$ の余極限を $\mathsf{Set}$ の極限に写す。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
  - Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
  - 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
- 商集合の普遍性✓定理 5.1・関係と同値関係
  - 同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係
    同値類・商集合・自然な射影定義 4.1・関係と同値関係
- 直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
- 部分加群・剰余加群・準同型定義 2.1・加群・完全列・中山の補題
- 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相の普遍性✓命題 4.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
  - 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
    米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限

これを使っている定理証明で参照している 5 件

スキームは点の関手で決まる✓定理 7.1・スキームの性質と射
自由群の存在✓系 5.4・随伴関手と随伴関手定理
前層の圏はトポス✓定理 6.4・Kan 拡張と前層の圏
フィルター余極限と有限極限の交換✓定理 6.4・極限と余極限
閉モノイダル圏のテンソル積は余極限を保つ✓命題 4.3・モナドとモノイダル圏

Hom は極限を保つ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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