数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 随伴関手と随伴関手定理
自由群の存在
忘却関手 は左随伴 をもつ。すなわち各小さい集合 について、群 と写像 で、任意の群 と写像 に対し を満たす準同型 がただ一つ存在するものがある。 を 上の自由群という。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 59 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
一般随伴関手定理（Freyd）✓定理 5.2・随伴関手と随伴関手定理
普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手 この先をたどる →
普遍射はコンマ圏の始対象✓命題 4.6・米田の補題と表現可能関手
- コンマ圏・スライス圏・具体圏定義 7.1・圏・関手・自然変換
- 始対象・終対象の一意性✓命題 3.10・圏・関手・自然変換
弱始集合から始対象✓補題 5.1・随伴関手と随伴関手定理
- mono・epi の合成と打ち消し✓命題 3.7・圏・関手・自然変換
具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
- 直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
- 部分加群・剰余加群・準同型定義 2.1・加群・完全列・中山の補題
積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相の普遍性✓命題 4.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
忘却関手と冪集合関手の表現✓命題 4.4・米田の補題と表現可能関手
Hom は極限を保つ✓命題 5.2・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限（上で展開済み）
- 極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限 この先をたどる →
- 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
宇宙と到達不能基数✓定理 2.5・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC
- 順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
- 共終数の基本的な値✓命題 6.6・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 共終数は正則基数である✓定理 6.7・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- 到達不能基数定義 2.4・圏・関手・自然変換
- 無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
- 正則基数より小さい和✓補題 8.6・圏・関手・自然変換 この先をたどる →
- 累積階層の性質✓補題 8.5・圏・関手・自然変換 この先をたどる →
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
生成された部分群の大きさ✓補題 5.3・随伴関手と随伴関手定理
- 無限基数の和と積✓系 6.4・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
- ヘッセンベルクの定理✓定理 6.3・公理的集合論 ZFC この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 群の圏は余完備✓系 5.5・随伴関手と随伴関手定理