コンマ圏・スライス圏・具体圏

関手 $S : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$、$T : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ に対し、コンマ圏 $(S \downarrow T)$ を次で定める。対象は組 $(A, B, \varphi)$（$A \in \mathcal{A}$、$B \in \mathcal{B}$、$\varphi : SA \to TB$）、$(A, B, \varphi)$ から $(A', B', \varphi')$ への射は組 $(a, b)$（$a : A \to A'$、$b : B \to B'$）で $\varphi' \circ S(a) = T(b) \circ \varphi$ を満たすもの、合成は成分ごとに行う。

• 対象 $X \in \mathcal{C}$ を 1 対象の圏からの関手と見て、$(\mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \downarrow X)$ を $X$ 上のスライス圏 $\mathcal{C}/X$、$(X \downarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{C}})$ を $X$ の下の圏 $X/\mathcal{C}$ という。$\mathcal{C}/X$ の対象は射 $A \to X$ と同一視できる。
• 圏 $\mathcal{C}$ と忠実な関手 $U : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ の組を具体圏という。