普遍射はコンマ圏の始対象

$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ を関手、$Y \in \mathcal{C}$ とし、$Y$ を 1 対象の圏 $\mathbf{1}$ からの関手と見る。組 $(R, u : Y \to GR)$ について次は同値である。

1. $(R, u)$ は $Y$ から $G$ への普遍射である。
2. $(R, u)$ は関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, G(-)) : \mathcal{D} \to \mathsf{Set}$ の普遍元である。
3. $(\ast, R, u)$ はコンマ圏 $(Y \downarrow G)$ の始対象である。

とくに $Y$ から $G$ への普遍射は、存在すれば一意な同型を除いて一意である。双対的に、$G$ から $Y$ への普遍射は $(G \downarrow Y)$ の終対象である。