宇宙と到達不能基数

定理 2.5（「圏・関手・自然変換」§2）・ ✓公理まで証明済み

ZFC において次が成り立つ。

$\mathbb{U}$ が宇宙なら、 $\kappa_{\mathbb{U}} = \{\alpha \in \mathbb{U} \mid \alpha \text{ は順序数}\}$ は到達不能基数で、すべての $x \in \mathbb{U}$ について $|x| < \kappa_{\mathbb{U}}$ である。
$\kappa$ が到達不能基数なら、 $V_\kappa$ は宇宙で、 $V_\kappa$ に属する順序数全体は $\kappa$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 18 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC
順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC
- 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC
  - 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC
- 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
共終数の基本的な値✓命題 6.6・公理的集合論 ZFC
- 無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
共終数は正則基数である✓定理 6.7・公理的集合論 ZFC
- 共終数の基本的な値✓命題 6.6・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 基数定義 6.1・公理的集合論 ZFC
到達不能基数定義 2.4・圏・関手・自然変換
無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
正則基数より小さい和✓補題 8.6・圏・関手・自然変換
- 順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 共終数・正則基数定義 6.5・公理的集合論 ZFC
- ヘッセンベルクの定理✓定理 6.3・公理的集合論 ZFC
  - 順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
  - 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
  - 無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
  - 整列集合の表現定理✓定理 5.6・公理的集合論 ZFC
    順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
    順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
  - カントール–シュレーダー–ベルンシュタインの定理✓定理 3.5・濃度と無限
累積階層の性質✓補題 8.5・圏・関手・自然変換
- 順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC
  - 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC

これを使っている定理証明で参照している 3 件

自由群の存在✓系 5.4・随伴関手と随伴関手定理
宇宙の公理の言い換え✓系 2.6・圏・関手・自然変換
Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ✓定理 7.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏

宇宙と到達不能基数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件