正則基数より小さい和

補題 8.6（「圏・関手・自然変換」§8）・ ✓公理まで証明済み

$\kappa$ を非可算な正則基数とする。

$S \subseteq \kappa$ が $|S| < \kappa$ を満たすなら、 $\sup S = \bigcup S < \kappa$ 。
$|I| < \kappa$ で、各 $i \in I$ について $|X_i| < \kappa$ なら、 $\left|\bigcup_{i \in I} X_i\right| < \kappa$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC
- 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC
  - 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC
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共終数・正則基数定義 6.5・公理的集合論 ZFC
ヘッセンベルクの定理✓定理 6.3・公理的集合論 ZFC
- 順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC
  - 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- 無限基数は極限順序数✓補題 6.2・公理的集合論 ZFC
- 整列集合の表現定理✓定理 5.6・公理的集合論 ZFC
  - 順序数上の超限帰納法と超限再帰✓定理 5.5・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
  - 順序数の集まりについて✓系 5.4・公理的集合論 ZFC（上で展開済み）
- カントール–シュレーダー–ベルンシュタインの定理✓定理 3.5・濃度と無限