順序数上の超限帰納法と超限再帰

定理 5.5（「公理的集合論 ZFC」§5）・ ✓公理まで証明済み

(1) 論理式 $\varphi(\alpha)$ について、すべての順序数 $\alpha$ で「すべての $\beta<\alpha$ で $\varphi(\beta)$ ならば $\varphi(\alpha)$ 」が成り立つなら、すべての順序数で $\varphi(\alpha)$ が成り立つ。

(2) 論理式で定まる「関数」 $G$ （各集合 $x$ に集合 $G(x)$ をただ一つ対応させるもの）が与えられたとき、すべての順序数 $\alpha$ について $F(\alpha)=G(F\restriction\alpha)$ を満たす $F$ がただ一つ存在する。ここで $F\restriction\alpha$ は $\alpha$ に制限した関数（集合）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

順序数の比較可能性✓定理 5.3・公理的集合論 ZFC
- 順序数の基本性質✓補題 5.2・公理的集合論 ZFC

これを使っている定理証明で参照している 5 件

累積階層の性質✓補題 8.5・圏・関手・自然変換
すべての集合はある $V_α$ に属する✓補題 8.7・圏・関手・自然変換
Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ✓定理 7.3・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
整列集合の表現定理✓定理 5.6・公理的集合論 ZFC
ヘッセンベルクの定理✓定理 6.3・公理的集合論 ZFC

順序数上の超限帰納法と超限再帰

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件