共終数・正則基数

$\alpha$ を順序数とする。順序数 $\beta$ からの写像 $f : \beta \to \alpha$ が $\alpha$ で非有界であるとは、すべての $\gamma < \alpha$ に対し $\gamma \le f(\xi)$ となる $\xi < \beta$ が存在することをいう。非有界な写像 $f : \beta \to \alpha$ が存在するような順序数 $\beta$ の最小のものを $\alpha$ の共終数といい、$\mathrm{cf}(\alpha)$ と書く（$\beta = \alpha$、$f$ = 恒等写像が条件を満たすので、$S(\alpha)$ の部分集合の最小元として存在する。定理 5.3）。無限基数 $\kappa$ が $\mathrm{cf}(\kappa) = \kappa$ を満たすとき、$\kappa$ は正則であるといい、そうでないとき特異であるという。