パラメータ付きの表現可能性

$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を局所的に小さい圏、$F : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{D} \to \mathsf{Set}$ を双関手とし、各 $D \in \mathcal{D}$ について前層 $F(-, D)$ が表現可能であるとする。各 $D$ に普遍元 $(R(D), \xi_D)$（$\xi_D \in F(R(D), D)$）を一つずつ選ぶ。このとき次が成り立つ。

1. 射 $d : D \to D'$ に、$F(R(d), D')(\xi_{D'}) = F(R(D), d)(\xi_D)$ を満たすただ一つの射 $R(d) : R(D) \to R(D')$ を対応させると、$R : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ は関手になる。
2. $\varphi_{X, D} : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, R(D)) \to F(X, D)$、$u \mapsto F(u, D)(\xi_D)$ は双関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, R(-))$ から $F$ への自然同型である。
3. 関手 $R' : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ と自然同型 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, R'(-)) \cong F$ がほかにあれば、$R \cong R'$ である。