圏

圏 $\mathcal{C}$ とは次のデータの組である。

• 集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$。その元を対象という。$X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ を $X \in \mathcal{C}$ とも書く。
• 対象 $X, Y$ ごとの集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$。その元を $X$ から $Y$ への射といい、$f : X \to Y$ と書く。$(X, Y) \ne (X', Y')$ なら $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X', Y')$ は交わらないとする。
• 対象 $X, Y, Z$ ごとの写像（合成）$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z)$、$(g, f) \mapsto g \circ f$。
• 対象 $X$ ごとの射 $\mathrm{id}_X : X \to X$（恒等射）。

これらが、$f : X \to Y$、$g : Y \to Z$、$h : Z \to W$ について結合法則 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ と単位法則 $f \circ \mathrm{id}_X = f = \mathrm{id}_Y \circ f$ を満たすことを要求する。