内部 Hom の随伴とその内部化

命題 4.2（「モナドとモノイダル圏」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(\mathcal{M}, \otimes, I)$ を局所的に小さい閉モノイダル圏とし、各 $Y, Z$ に内部 Hom $[Y, Z]$ と、 $X$ について自然な全単射 $\operatorname{Hom}(X \otimes Y, Z) \cong \operatorname{Hom}(X, [Y, Z])$ を選ぶ。

$(Y, Z) \mapsto [Y, Z]$ は双関手 $\mathcal{M}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ に一意に延び、全単射は $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ の三つについて自然になる。
$X, Y, Z$ について自然な同型 $[X \otimes Y, Z] \cong [X, [Y, Z]]$ がある。
$Z$ について自然な同型 $[I, Z] \cong Z$ がある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hom 関手と Hom 双関手✓命題 4.4・圏・関手・自然変換
- 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
- 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
- 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
- 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
  - 米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
    圏定義 3.1・圏・関手・自然変換
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換

これを使っている定理証明で参照している 1 件

閉モノイダル圏のテンソル積は余極限を保つ✓命題 4.3・モナドとモノイダル圏

内部 Hom の随伴とその内部化

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件