双関手の判定

各 $X \in \mathcal{C}$ に関手 $F(X, -) : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$、各 $Y \in \mathcal{D}$ に関手 $F(-, Y) : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ が与えられ、対象では $F(X, -)(Y) = F(-, Y)(X)$ が一致し、任意の $f : X \to X'$、$g : Y \to Y'$ について

が成り立つとする。このとき $F(f, g)$ をこの共通の値と定めると、$F$ は双関手 $\mathcal{C} \times \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ であり、そのような双関手はこれ一つである。