テンソル積は双線形写像の関手を表現する

命題 6.1（「米田の補題と表現可能関手」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を可換環とする。

$A$ 加群 $M, N$ について、関手 $\operatorname{Bil}(M, N; -) : \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Set}$ は表現可能で、 $(M \otimes_A N, \otimes)$ がその普遍元である。
準同型 $\alpha : M \to M'$ 、 $\beta : N \to N'$ に、 $m \otimes n \mapsto \alpha(m) \otimes \beta(n)$ を満たすただ一つの準同型 $\alpha \otimes \beta$ を対応させると、 $\otimes : \mathsf{Mod}_A \times \mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Mod}_A$ は双関手であり、全単射 $\operatorname{Hom}_A(M \otimes N, P) \cong \operatorname{Bil}(M, N; P)$ は $M, N, P$ について自然である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
普遍元定義 4.1・米田の補題と表現可能関手
テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
- 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
  - 自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
- 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
- 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
  - 米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
    圏定義 3.1・圏・関手・自然変換
  - 充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換