加群の圏は対称モノイダル閉圏

命題 5.1（「モナドとモノイダル圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を可換環とする。 $\mathsf{Mod}_A$ に、テンソル積 $\otimes_A$ 、単位対象 $A$ と、

a((m \otimes n) \otimes p) = m \otimes (n \otimes p), \quad l(x \otimes m) = xm, \quad r(m \otimes x) = xm, \quad c(m \otimes n) = n \otimes m

で定まる準同型を入れると、対称モノイダル圏になり、内部 Hom $[N, P] = \operatorname{Hom}_A(N, P)$ によって閉である。とくに体 $k$ 上のベクトル空間の圏 $\mathsf{Vect}_k$ は対称モノイダル閉圏である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手
- 加群のテンソル積定義 2.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 普遍元定義 4.1・米田の補題と表現可能関手
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
  - 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
    米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換
テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
- テンソル積は双線形写像の関手を表現する✓命題 6.1・米田の補題と表現可能関手（上で展開済み）
- Hom とテンソルの随伴✓定理 2.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 係数の拡大と制限定義 2.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- 係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 普遍射の族から随伴✓定理 2.7・随伴関手と随伴関手定理
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 随伴の三つの定義の同値✓定理 2.3・随伴関手と随伴関手定理
  - パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

超ベクトル空間の対称モノイダル構造✓命題 5.4・モナドとモノイダル圏

加群の圏は対称モノイダル閉圏

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件