数学 › 可換環論 › テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

係数の拡大の基本性質

命題 2.5（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\rho\colon A \to B$ を環準同型とする。

定義 2.4 の $B$ 加群の構造と、 $B \otimes_A C$ の積は well-defined である。
$B$ 加群 $N$ と $A$ 加群 $M$ について $N \otimes_B (B \otimes_A M) \cong N \otimes_A M$ （ $n \otimes (b \otimes m) \mapsto bn \otimes m$ ）。
$B \otimes_A A^n \cong B^n$ 、 $B \otimes_A (A/\mathfrak{a}) \cong B/\mathfrak{a}B$ 。
積閉集合 $S$ について $S^{-1}(N \otimes_A M) \cong S^{-1}N \otimes_{S^{-1}A} S^{-1}M$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題

これを使っている定理証明で参照している 9 件

行列式層の性質✓補題 6.2・次元・正規性・非特異性と微分の層
ファイバーの底空間✓命題 5.3・スキームの性質と射
加群と準連接層の圏同値✓定理 4.3・準連接層・連接層と直線束
テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限✓命題 6.2・随伴関手と随伴関手定理
平坦拡大の下降定理✓定理 5.6・整拡大
Kähler 微分の計算規則✓命題 4.2・Kähler 微分と滑らかさの入口
Jacobi 行列による表示✓系 5.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
平坦な局所準同型と Spec の全射性✓系 6.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群

関連するノック 1 問

可換環論第 18 問