平坦性の基本性質

命題 4.4（「テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群」§4）・ ✓公理まで証明済み

平坦加群の直和は平坦であり、平坦加群の直和因子は平坦である。とくに自由加群と射影加群は平坦である。
積閉集合 $S$ について、 $S^{-1}A$ は平坦 $A$ 加群である。
（平坦基底変換） $M$ が平坦 $A$ 加群なら、環準同型 $A \to B$ について $B \otimes_A M$ は平坦 $B$ 加群である。
$A \to B$ が平坦で $N$ が平坦 $B$ 加群なら、 $N$ は平坦 $A$ 加群である。
$M$ が平坦であることと、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $M_{\mathfrak{p}}$ が平坦 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群であることと、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $M_{\mathfrak{m}}$ が平坦 $A_{\mathfrak{m}}$ 加群であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
係数の拡大の基本性質✓命題 2.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 11 件

Tor の平衡性の自然性✓系 7.2・導来関手と δ 関手
代数的 Künneth 公式✓定理 7.2・Ext と拡大
Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
平坦拡大の下降定理✓定理 5.6・整拡大
F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口
平坦な商をもつ短完全列✓補題 4.6・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
有限表示加群の平坦性・射影性・局所自由性✓定理 5.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
PID 上の平坦加群✓命題 8.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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