Tor・Ext の長完全列

1. $0 \to N' \xrightarrow{g} N \xrightarrow{h} N'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $M$ について、連結準同型を含む完全列

   $$\cdots \to \operatorname{Tor}_n(M, N') \to \operatorname{Tor}_n(M, N) \to \operatorname{Tor}_n(M, N'') \to \operatorname{Tor}_{n-1}(M, N') \to \cdots \to M \otimes N' \to M \otimes N \to M \otimes N'' \to 0$$ $$0 \to \operatorname{Hom}(M, N') \to \operatorname{Hom}(M, N) \to \operatorname{Hom}(M, N'') \to \operatorname{Ext}^1(M, N') \to \cdots \to \operatorname{Ext}^n(M, N') \to \operatorname{Ext}^n(M, N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N'') \to \operatorname{Ext}^{n+1}(M, N') \to \cdots$$

   がある。

2. $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全なら、任意の $A$ 加群 $N$ について、連結準同型を含む完全列

   $$\cdots \to \operatorname{Tor}_n(M', N) \to \operatorname{Tor}_n(M, N) \to \operatorname{Tor}_n(M'', N) \to \operatorname{Tor}_{n-1}(M', N) \to \cdots \to M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N \to 0$$ $$0 \to \operatorname{Hom}(M'', N) \to \operatorname{Hom}(M, N) \to \operatorname{Hom}(M', N) \to \operatorname{Ext}^1(M'', N) \to \cdots \to \operatorname{Ext}^n(M'', N) \to \operatorname{Ext}^n(M, N) \to \operatorname{Ext}^n(M', N) \to \operatorname{Ext}^{n+1}(M'', N) \to \cdots$$

   がある。

いずれも連結準同型以外の写像は、与えられた準同型が誘導する写像である。