Auslander–Buchsbaum の公式

定理 9.1（「Tor・Ext と深さ」§9）・ ✓公理まで証明済み

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環、 $M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とし、 $\operatorname{pd} M < \infty$ とする。このとき

\operatorname{pd} M + \operatorname{depth} M = \operatorname{depth} A

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 77 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ
- 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ
  - ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
  - 素イデアル回避✓補題 2.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - テンソル積の存在と一意性✓定理 2.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ
  - 比較定理✓定理 3.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
  - ホモトピックな写像はホモロジーで等しい✓補題 2.2・Tor・Ext と深さ
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
  - aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さ
- 直和と射影性✓補題 3.2・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 自由加群からの持ち上げ✓補題 2.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 平坦性の Tor 判定✓命題 5.1・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 極小自由分解の存在✓命題 3.6・Tor・Ext と深さ
  - 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さ
- 正則列の基本性質✓補題 7.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ
- テンソル積の右完全性✓定理 2.8・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
- 平坦加群とのテンソルは核・像・ホモロジーと交換する✓補題 4.5・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 入射加群と可除加群定義 3.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群（上で展開済み）
Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さ
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- ホモロジーの長完全列（加群）✓補題 2.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 馬蹄補題✓補題 3.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Tor・Ext は分解によらない✓系 4.2・Tor・Ext と深さ（上で展開済み）
Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅✓補題 6.3・Ext 層と Serre 双対
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
F 有限な正則局所環の Frobenius✓命題 10.3・Kähler 微分と滑らかさの入口

Auslander–Buchsbaum の公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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