数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Ext 層と Serre 双対

Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅

補題 6.3（「Ext 層と Serre 双対」§6）・ ✓公理まで証明済み

$X \subseteq P = \mathbb P^N_k$ を $n$ 次元の閉部分スキームとする。次は同値である。

$X$ は Cohen–Macaulay で等次元 $n$ である。
$X$ 上のすべての有限階数の局所自由層 $\mathcal E$ に対し、ある $q_0$ があって、 $q \ge q_0$ と $i < n$ について $H^i(X, \mathcal E(-q)) = 0$ である。
ある $q_0$ があって、 $q \ge q_0$ と $i < n$ について $H^i(X, \mathcal O_X(-q)) = 0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 409 件、定義なども含めて 475 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 13 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

射影空間の双対定理✓定理 4.1・Ext 層と Serre 双対
- 射影空間のコホモロジー✓定理 5.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される✓定理 9.5・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →
- アフィン開集合の個数による消滅✓系 4.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
  - Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray）✓定理 4.1・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対（上で展開済み）
- Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手この先をたどる →
- 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対
- 入射的な加群の層の性質✓補題 3.3・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 加群の層として計算しても同じ✓系 4.5・層コホモロジーこの先をたどる →
- コホモロジーの長完全列✓定理 3.1・鎖複体とホモトピー圏この先をたどる →
- 局所自由層と Hom・テンソル積✓補題 3.2・Ext 層と Serre 双対
- 導来関手の普遍性✓系 5.3・導来関手と δ 関手この先をたどる →
十分にねじった Ext は Ext 層の大域切断✓命題 3.8・Ext 層と Serre 双対
- Ext の基本性質✓命題 3.4・Ext 層と Serre 双対（上で展開済み）
- 局所自由分解による Ext 層の計算✓命題 3.5・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- Serre の有限性定理と消滅定理✓定理 6.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジーこの先をたどる →
- 局所から大域へのスペクトル系列✓定理 3.6・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
- 高次の行が消えるときの同型✓補題 3.7・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
代数閉体上の多項式環の極大イデアル✓系 4.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- Zariski の補題（弱零点定理）✓定理 4.1・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- 多項式環の素イデアルのファイバー✓補題 6.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- Noether 環の素イデアルの高さは有限✓系 4.4・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
埋め込み次元・正則局所環・正則環定義 6.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
Auslander–Buchsbaum の公式✓定理 9.1・Tor・Ext と深さ
- 深さと Ext（Rees の定理）✓定理 7.4・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 局所平坦性判定✓定理 5.2・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 深さの基本性質✓系 7.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の基本性質✓命題 4.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Tor・Ext の長完全列✓定理 4.5・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- Hom の左完全性✓命題 4.3・加群・完全列・中山の補題
局所自由分解による Ext 層の計算✓命題 3.5・Ext 層と Serre 双対この先をたどる →
多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
射影次元と Ext の消滅✓補題 6.2・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
射影次元の次数の Ext は消えない✓補題 6.2・Ext 層と Serre 双対
- 極小自由分解の存在✓命題 3.6・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
深さと次元✓命題 7.9・Tor・Ext と深さこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Serre 双対定理✓定理 6.4・Ext 層と Serre 双対
局所完全交叉の局所的な構造✓補題 7.2・Ext 層と Serre 双対

Cohen–Macaulay 性とコホモロジーの消滅

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 13 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 13 件）

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