埋め込み次元・正則局所環・正則環

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。

1. $\operatorname{edim} A = \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ を $A$ の埋め込み次元という。系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により、これは $\mathfrak{m}$ の極小生成系の元の個数である。
2. $\dim A = \operatorname{edim} A$ のとき、$A$ を正則局所環という。このとき $\mathfrak{m}$ を生成する $\dim A$ 個の元を正則パラメータ系という（$\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m}$ 準素なので、これはパラメータ系である）。
3. Noether 環 $A$ が正則環であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が正則局所環であることをいう。