数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 曲面上の交叉理論

爆発の座標近傍

補題 7.2（「曲面上の交叉理論」§7） ・ ✓公理まで証明済み

AA を kk 上有限生成の整域、m\mathfrak{m} を極大イデアルで AmA_{\mathfrak{m}} が 22 次元の正則局所環であるもの、x,y∈Ax, y \in A を m=(x,y)A\mathfrak{m} = (x, y)A を満たす元とする。U=Spec⁡AU = \operatorname{Spec} A、PP を m\mathfrak{m} に対応する点とし、PA1\mathbb{P}^1_A（座標 T0,T1T_0, T_1）の閉部分スキーム U~=V(xT1−yT0)\tilde{U} = V(xT_1 - yT_0) と射影 π ⁣:U~→U\pi\colon \tilde{U} \to U を考える。

  1. U~\tilde{U} は 2 つのアフィン開集合 U1=Spec⁡A1U_1 = \operatorname{Spec} A_1、A1=A[t]/(xt−y)A_1 = A[t]/(xt - y)（t=T1/T0t = T_1/T_0）と U2=Spec⁡A2U_2 = \operatorname{Spec} A_2、A2=A[s]/(x−ys)A_2 = A[s]/(x - ys)（s=T0/T1s = T_0/T_1）で覆われる。A1A_1 は Frac⁡A\operatorname{Frac} A の部分環 A[y/x]A[y/x] と、A2A_2 は A[x/y]A[x/y] と同型である。U~\tilde{U} は整で、π\pi は U∖{P}U \setminus \{P\} の上で同型である。
  2. E=π−1(P)E = \pi^{-1}(P) は Pk1\mathbb{P}^1_k と同型で、U1U_1 の上では xx、U2U_2 の上では yy で定義される有効 Cartier 因子である。A1/xA1=k[t]A_1/xA_1 = k[t]、A2/yA2=k[s]A_2/yA_2 = k[s] である。
  3. EE の各閉点 QQ で OU~,Q\mathcal{O}_{\tilde{U},Q} は 22 次元の正則局所環である。Q∈U1Q \in U_1 が t=ct = c に対応するとき、極大イデアルは (x,t−c)(x, t - c) で生成される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 206 件、定義なども含めて 245 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件