整拡大と次元

命題 3.1（「Krull 次元と単項イデアル定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A \subseteq B$ を整拡大とし、 $A \ne 0$ とする。

$\dim A = \dim B$ である。
$\mathfrak{q}$ を $B$ の素イデアル、 $\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$ とすると、 $\operatorname{ht}\mathfrak{q} \le \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ かつ $\dim B/\mathfrak{q} = \dim A/\mathfrak{p}$ である。
さらに $A$ が整閉整域で $B$ が整域なら、(2) で $\operatorname{ht}\mathfrak{q} = \operatorname{ht}\mathfrak{p}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

比較不能性✓定理 4.3・整拡大
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大（上で展開済み）
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大（上で展開済み）
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
上昇定理✓定理 4.6・整拡大
- 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大（上で展開済み）
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大（上で展開済み）
- 整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像✓系 4.5・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大（上で展開済み）
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大（上で展開済み）
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
下降定理✓定理 5.4・整拡大
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大この先をたどる →
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

次元と超越次数✓定理 7.1・Krull 次元と単項イデアル定理
高さ 1 の素イデアルによる剰余✓補題 7.2・Krull 次元と単項イデアル定理

整拡大と次元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件