整閉整域上の最小多項式

命題 5.3（「整拡大」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を整閉整域、 $K = \operatorname{Frac} A$ 、 $L$ を $K$ を含む体、 $\mathfrak{a}$ を $A$ のイデアルとする。 $x \in L$ が $\mathfrak{a}$ 上整なら、 $x$ は $K$ 上代数的で、その $K$ 上の最小多項式 $f(t) = t^n + c_1 t^{n-1} + \cdots + c_n$ の係数はすべて $\sqrt{\mathfrak{a}}$ に入る。とくに（ $\mathfrak{a} = A$ として） $A$ 上整な元の最小多項式は $A[t]$ に属する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎
    部分群の判定法✓命題 3.3・部分群と剰余類
    環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
  - 多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題
    多項式環定義 6.1・環と体の基礎
  - 可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Euler の補題と単生成の場合の共役差積✓命題 8.6・分解群・惰性群・Frobenius 元
不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体
トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
下降定理✓定理 5.4・整拡大

整閉整域上の最小多項式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件