Euler の補題と単生成の場合の共役差積

命題 8.6（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§8）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、 $\alpha \in B$ 、 $L = K(\alpha)$ とし、 $g \in A[X]$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とする。

$0 \le k \le n - 2$ で $\mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\alpha^k/g'(\alpha)\bigr) = 0$ 、 $\mathrm{Tr}_{L/K}\bigl(\alpha^{n-1}/g'(\alpha)\bigr) = 1$ 。
$A[\alpha]$ の $A$ に関する双対 $\{x \in L \mid \mathrm{Tr}(xA[\alpha]) \subseteq A\}$ は $g'(\alpha)^{-1}A[\alpha]$ に等しい。
$B = A[\alpha]$ ならば $\mathfrak{D}_{L/K} = g'(\alpha)B$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 45 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎（上で展開済み）
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
    整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題
    多項式環からの代入✓補題 3.1・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    可換環上の余因子行列の恒等式✓補題 3.2・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 有限次正規拡大と分解体✓定理 6.8・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元の全体は体をなす✓系 6.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- 正規拡大定義 6.7・多項式環と体の拡大
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎
  - 体定義 5.1・環と体の基礎
  - 環の基本計算則✓命題 3.3・環と体の基礎
  - 環準同型の核✓命題 7.2・環と体の基礎この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
- トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大（上で展開済み）
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 双対基底✓定理 2.3・双対空間と商空間
  - 座標同型と、基底による線形写像の決定✓命題 2.1・行列と連立一次方程式
- 次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
  - 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

微分が単元なら単生成✓補題 3.1・円分体と Kronecker–Weber の定理
素数冪の円分体✓定理 3.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理
Hilbert の公式✓定理 9.4・分解群・惰性群・Frobenius 元

Euler の補題と単生成の場合の共役差積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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