代数的整数論・類体論 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第1〜7章の内容（素イデアルの分解、円分体、p進数と局所体、アデール、類数公式、類体論）を一通り学んだ人。計算問題に必要な学部の代数学は仮定します。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer
• J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press
• D. A. Marcus, Number Fields, Springer
• J.-P. Serre, Local Fields, Springer GTM 67

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 分解群・惰性群・Frobenius 元
• 8〜14: 円分体と Kronecker–Weber の定理
• 15〜22: 付値と完備化
• 23〜30: 局所体
• 31〜36: アデールとイデール
• 37〜43: Dedekind ゼータ関数と L 関数
• 44〜50: 類体論

形式: 単一選択 16・複数選択 9・○× 6・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 1 / 10 / 36 / 3。

この冊で使う定義・定理（71）

• 定義 7.1 モジュラス・射線類群・合同部分群 アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 31, 33, 34 番
• 命題 7.4 Q のイデール類群 アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 32, 33, 34, 36 番
• 定理 4.3 K は離散で余コンパクト アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 32 番
• 定理 7.3 C_K の開部分群と合同部分群 アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 36, 45 番
• 定理 7.2 射線類群のイデールによる表示と有限性 アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 31, 34, 35, 36 番
• 定理 4.8 強近似定理 アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化 → 32 番
• 系 8.2 Abel 拡大での分解法則は合同条件で決まる 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 49 番
• 系 8.1 Hilbert 類体 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 49 番
• 系 8.3 p = x² + ny² と Hilbert 類体 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 46 番
• 定義 7.5 類体・導手・射線類体・Hilbert 類体 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 46 番
• 補題 4.4 Q_p の p 次巡回拡大の個数 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 45 番
• 定理 7.1 Artin の相互法則 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 49 番
• 定理 8.6 Chebotarev の密度定理 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 39 番
• 定理 3.5 局所存在定理 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 48, 50 番
• 定理 3.1 局所体の巡回拡大のノルム指数 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 44, 45 番
• 定理 3.3 局所相互法則 類体論：局所・大域の相互法則と存在定理 → 45, 48 番
• 系 7.10 導手と分岐 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 10, 47 番
• 系 5.3 二次体は円分体に含まれる 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 10, 14 番
• 系 4.4 完全分解する素数 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 11, 12, 14, 46 番
• 定義 7.9 Abel 拡大の導手 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 10, 47 番
• 定理 4.2 円分体の整数環 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 5 番
• 定理 2.3 円分多項式の既約性 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 6, 11, 12, 47 番
• 定理 4.3 円分体での素数の分解 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 8, 9, 11, 43 番
• 定理 7.8 Kronecker–Weber の定理 円分体と Kronecker–Weber の定理 → 45 番
• 系 4.3 合成体での不分岐・完全分解の遺伝 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 14 番
• 系 4.2 中間体での完全分解・不分岐の判定 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 2, 4 番
• 定義 9.1 高次分岐群（下付き番号） 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 3 番
• 命題 8.6 Euler の補題と単生成の場合の共役差積 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 5, 7 番
• 命題 8.5 判別式は共役差積のノルム 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 7, 13 番
• 命題 5.2 Frobenius 元の性質 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 1, 6 番
• 定理 3.4 分解群の完全列 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 4 番
• 定理 4.1 分解体・惰性体での分解 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 2 番
• 定理 5.3 Dedekind の巡回型定理 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 1, 4, 6, 39 番
• 定理 8.8 Dedekind の共役差積定理 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 5, 7, 13 番
• 定理 8.4 共役差積の推移律 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 13 番
• 定理 9.4 Hilbert の公式 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 3 番
• 定理 9.3 高次分岐群の構造 分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群 → 3 番
• 系 8.3 二次体の類数公式 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 37, 38, 40, 41 番
• 定義 3.2 Dirichlet 指標・導手・原始指標 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 43 番
• 定義 4.2 単数規準 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 42 番
• 補題 8.2 奇指標の L(1, χ) の有限和表示 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 41 番
• 補題 8.1 二次体の指標 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 38 番
• 定理 5.3 解析的類数公式 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 38, 42 番
• 定理 5.2 Dedekind ゼータ関数の Euler 積と s = 1 の極 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 40 番
• 定理 9.1 完全分解する素イデアルの密度 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 40 番
• 定理 7.2 L(1, χ) ≠ 0 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 40 番
• 定理 7.1 円分体のゼータ関数の分解 Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理 → 43 番
• 例 9.3 標数 p では有限性が破れる：Artin–Schreier 拡大 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 25 番
• 補題 6.1 Krasner の補題 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 28 番
• 定理 6.4 標数 0 の局所体の拡大の有限性 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 25 番
• 定理 2.6 局所体での基本等式 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 24, 26, 30, 44 番
• 定理 7.2 局所体の乗法群の構造 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 26, 27, 48, 50 番
• 定理 5.2 順完全分岐拡大の構造 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 27 番
• 定理 5.1 完全分岐拡大と Eisenstein 多項式 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 23, 24, 25 番
• 定理 2.4 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 20 番
• 定理 4.2 不分岐拡大の分類 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 23, 24, 27, 29, 30, 44 番
• 定理 4.4 不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性 局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大 → 25 番
• 系 6.4 ℚ_p の 1 の冪根と Teichmüller 代表 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 18, 29 番
• 定義 9.1 Hilbert 記号 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 22 番
• 定義 7.1 Newton 多角形 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 20, 21 番
• 補題 6.3 1 + pℤ_p に捩れはない 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 19 番
• 命題 9.2 Hilbert 記号の計算と x² + y² + z² = 0 の局所可解性 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 22 番
• 命題 5.3 p 進展開 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 15 番
• 命題 6.6 ℚ_p の平方元 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 16, 17, 18, 22, 23, 28 番
• 命題 6.5 ℤ_p の単数群 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 19, 50 番
• 定理 6.1 Hensel の補題 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 16, 17, 18, 21, 29, 30 番
• 定理 7.2 Newton 多角形と根の付値 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 20, 21 番
• 定理 8.3 代数体の素点の分類 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 18 番
• 定理 5.2 ℤ_p と ℚ_p の基本性質 付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題 → 15, 18 番
• 定理 4.2 Minkowski 限界 イデアル類群の有限性と Minkowski 限界：格子点の幾何で類数と単数を押さえる → 37 番
• 命題 8.2 二次体での素数の分解 代数体の整数環と Dedekind 整域：イデアルで素因数分解を取り戻す → 2, 35, 37 番