代数的整数論・類体論

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代数体の素イデアルの分解を Galois 群の言葉（分解群・惰性群・Frobenius）で読み直し、付値と完備化による局所理論、

想定読者: 大学院生（修士課程）、数論・数論幾何・保型形式に進む人

前提テーマ:可換環論、数論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章分解群・惰性群・Frobenius 元：共役差積と高次分岐群無料Galois 拡大での素イデアルの分解を分解群・惰性群・Frobenius 元で記述し、分解体と惰性体の塔、Dedekind の巡回型定理、共役差積と判別式、Dedekind の共役差積定理、高次分岐群と Hilbert の公式を証明する。
2. 第 2 章円分体と Kronecker–Weber の定理無料円分多項式の既約性、円分体の整数環 Z[ζ_n] と判別式、素数の分解法則と Frobenius 元、Gauss 和による二次体の埋め込みと相互法則の別証明、円分単数を示し、Q 上の Abel 拡大が円分体に含まれることを分岐群だけで証明する。
3. 第 3 章付値と完備化：Ostrowski の定理・p 進数・Hensel の補題無料体の絶対値を分類する Ostrowski の定理、代数体の素点と積公式、弱近似定理、完備化の構成、p 進数体 Q_p と Z_p のコンパクト性、Newton 法の形の Hensel の補題、Teichmüller 代表、Newton 多角形を証明する。
4. 第 4 章局所体：完備体の拡大・不分岐拡大と完全分岐拡大無料完備離散付値体の有限次拡大への絶対値の延長の一意性と n = ef、大域体のテンソル積の局所成分への分解、不分岐拡大の分類とノルムの全射性、Eisenstein 多項式と完全分岐拡大、Krasner の補題、乗法群の構造を証明する。
5. 第 5 章アデールとイデール：類数の有限性と単数定理の再定式化無料代数体のすべての完備化を制限直積で束ねたアデール環とイデール群を定義し、K が離散で余コンパクトであること、ノルム 1 のイデール類群のコンパクト性が類数の有限性と Dirichlet の単数定理に同値であること、射線類群がイデール類群の商であることを証明する。
6. 第 6 章Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数：類数公式と算術級数定理無料ノルムが x 以下の整イデアルの個数を格子点の数え上げで評価し、Dedekind ゼータ関数の s=1 での留数（解析的類数公式）を導く。円分体のゼータの分解から L(1,χ)≠0 と Dirichlet の算術級数定理を、射線類指標の L 関数から類体論の第 2 不等式を証明する。
7. 第 7 章類体論：局所・大域の相互法則と存在定理無料Herbrand 商で局所体と代数体の巡回拡大のノルム指数を計算し、不分岐拡大の相互写像、Q_p の Abel 拡大の決定、大域の 2 つの不等式、Q 上の類体論を証明する。一般の相互法則と存在定理は主張を正確に述べ、Hilbert 類体・p = x² + ny²・Chebotarev の密度定理を導く。