円分体と Kronecker–Weber の定理

0. この記事の要点

この記事の主役は「1 の冪根（何乗かすると 1 になる複素数）を有理数に付け加えてできる数の体系」です。たとえば 1 の 5 乗根を付け加えた体 $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ では、$5$ と異なる素数 $p$ を 5 で割った余りを見るだけで、$p$ がこの体の中でどう素因数分解されるかが決まる、という不思議な規則性があります。さらに、有理数の上で「対称性が可換な」拡大はすべてこの体系の中に収まる、というのが Kronecker–Weber の定理です。前半はその具体的な性質、後半はその定理の証明です。

• 円分多項式 $\Phi_n$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で、$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ です（定理 2.3）。整数環は $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ です（定理 3.3、定理 4.2）。
• $p \nmid n$ なら $p$ は不分岐で Frobenius 元は $\zeta_n \mapsto \zeta_n^p$、剰余次数は $p$ の $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ での位数です（定理 4.3）。素数の分解が「$p$ を $n$ で割った余り」だけで決まります。
• Gauss 和 $g$ は $g^2 = (-1)^{(p-1)/2}p$ を満たし（定理 5.2）、すべての二次体は円分体に含まれます（系 5.3）。Frobenius 元を二次部分体に制限すると平方剰余の相互法則が出ます（命題 5.4）。
• 円分体の単数は、実部分体の単数と 1 の冪根の積です（素数冪の場合。命題 6.2）。
• Kronecker–Weber の定理：$\mathbb{Q}$ 上の有限次 Abel 拡大は円分体に含まれます（定理 7.8）。証明は、$\mathbb{Q}$ 上不分岐な拡大がないこと（補題 7.1）と、高次分岐群・Hilbert の公式だけを使います。

この記事で使う事前知識

• 分岐指数・剰余次数: 素数が拡大でどれだけ重なって割れるか、素イデアルの剰余体がどれだけ大きくなるかを表す数。→ 剰余次数
• 分解群・惰性群・惰性体: 素イデアルを動かさない Galois 群の元の集まり、およびその中で剰余体にも自明に働くものの集まり（とその固定体）。→ 惰性群
• 共役差積: 整数環の双対格子から決まるイデアルで、その素因子が分岐する素イデアルを表す。→ 共役差積
• Dedekind 整域: 代数体の整数環のように、イデアルを素イデアルの積に分解して考えられる整域。→ Dedekind 整域
• 位数: 群の元を何乗すると単位元に戻るかを表す最小の正の整数。→ 位数
• 平方剰余: 素数 $p$ を法として平方数になる数。→ 平方剰余

1. 動機

二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt m)$ で素数 $p$ がどう分解するかは Legendre 記号 $\left(\frac mp\right)$ で決まり、相互法則によってそれは $p$ を $4|m|$ で割った余りだけで決まります。「分解の型が合同条件で書ける」というこの現象は、二次体に特有のものでしょうか。

答えは、$\mathbb{Q}$ 上の Abel 拡大すべてで同じことが起こり、Abel でない拡大では起こらない、というものです。前半を支えるのが円分体です。$\mathbb{Q}(\zeta_n)$ では Galois 群が $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ と同一視され、第 1 章 で定義した Frobenius 元は「$p$ の $n$ を法とする類」そのものになります。したがって円分体の部分体では、分解の型が $p \bmod n$ で決まります。Kronecker–Weber の定理は、$\mathbb{Q}$ 上の Abel 拡大がすべて円分体の部分体であると主張するので、これで Abel 拡大の分解法則が完全に記述されます。これが $\mathbb{Q}$ 上の類体論です。

本記事の後半では、この定理を局所体も類体論も使わずに証明します。使う道具は第 1 章の分岐群と Hilbert の公式、そして Minkowski の判別式の評価（$\mathbb{Q}$ 上どこでも不分岐な拡大は自明）です。

本記事では代数体はすべて $\mathbb{C}$ の部分体とし、$\zeta_n := e^{2\pi i/n}$ と書きます。第 1 章の結果は $A = \mathbb{Z}$ とその局所化 $\mathbb{Z}_{(p)}$ に対して使います（第 1 章 2.1 節の仮定を満たします）。代数体 $K$ と素数 $\ell$ について、$\mathcal{O}_K$ の $\mathbb{Z} \setminus \ell\mathbb{Z}$ による局所化を $\mathcal{O}_{K,(\ell)}$ と書きます。

2. 円分多項式と Galois 群

定義 2.1（円分体と円分多項式）↗

$n \ge 1$ とする。$\mathbb{C}$ の中の 1 の $n$ 乗根の全体 $\mu_n = \{\zeta_n^a \mid a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\}$ は位数 $n$ の巡回群で、その生成元 $\zeta_n^a$（$\gcd(a, n) = 1$）を 1 の原始 $n$ 乗根という。$\mathbb{Q}(\zeta_n)$ を第 $n$ 円分体、

$$\Phi_n(X) := \prod_{a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}}(X - \zeta_n^a)$$

を第 $n$ 円分多項式という。$\deg\Phi_n = \varphi(n)$ である。実部分体 $\mathbb{Q}(\zeta_n)^{+} := \mathbb{Q}(\zeta_n) \cap \mathbb{R}$ を最大実部分体という。

1 の $n$ 乗根はそれぞれちょうど 1 つの $d \mid n$ について原始 $d$ 乗根なので、$X^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d(X)$ です。

補題 2.2（円分多項式は整数係数）✓

$\Phi_n \in \mathbb{Z}[X]$ であり、$\Phi_n$ はモニックで $\Phi_n(0) = \pm 1$ である。素数 $p \nmid n$ について、$X^n - 1$ は $\mathbb{F}_p$ のどの拡大体でも重根をもたない。

証明（補題 2.2）

$n$ に関する帰納法で示します。$\Phi_1 = X - 1$ です。$n > 1$ とし、$u = \prod_{d \mid n,\ d < n}\Phi_d$ とすると、帰納法の仮定から $u \in \mathbb{Z}[X]$ はモニックで、$X^n - 1 = \Phi_nu$ です。モニック多項式による割り算は $\mathbb{Z}[X]$ の中で実行できるので $X^n - 1 = wu + r$（$w, r \in \mathbb{Z}[X]$、$\deg r < \deg u$）と書け、$\mathbb{C}[X]$ での割り算の一意性から $w = \Phi_n$、$r = 0$ です。定数項を比べると $\Phi_n(0)u(0) = -1$ で、どちらも整数なので $\Phi_n(0) = \pm 1$ です。

後半について、標数 $p$ の体で $h = X^n - 1$ とすると $h - (X/n)h' = X^n - 1 - X^n = -1$ です（$p \nmid n$ なので $n$ は可逆）。$h$ が重根 $\beta$ をもてば $h(\beta) = h'(\beta) = 0$ となり、この式に矛盾します。

∎

定理 2.3（円分多項式の既約性）✓

$\Phi_n$ は $\mathbb{Q}$ 上既約である。したがって $[\mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$ で、$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大であり、

$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}), \qquad a \longmapsto \sigma_a, \quad \sigma_a(\zeta_n) = \zeta_n^a$$

は群の同型である。特に円分体は $\mathbb{Q}$ の Abel 拡大で、その部分体もすべて $\mathbb{Q}$ 上 Abel 拡大である。

証明（定理 2.3）

$\zeta = \zeta_n$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式を $g$ とします。$\zeta$ は代数的整数なので $g \in \mathbb{Z}[X]$ です（命題 2.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。$g$ は $X^n - 1$ を $\mathbb{Q}[X]$ で割り、$g$ はモニックなので 補題 2.2 の証明と同じ割り算で $X^n - 1 = gh$、$h \in \mathbb{Z}[X]$ です。

主張：$\xi$ が $g$ の根で $p$ が $n$ を割らない素数なら、$\xi^p$ も $g$ の根である。

$\xi^p$ は $X^n - 1$ の根なので、$g(\xi^p) \ne 0$ なら $h(\xi^p) = 0$ です。すると $\xi$ は $h(X^p)$ の根で、$g$ は $\xi$ の最小多項式ですから $g \mid h(X^p)$、再びモニック多項式による割り算で $h(X^p) = gk$（$k \in \mathbb{Z}[X]$）です。係数を $p$ を法として還元すると、$\mathbb{F}_p[X]$ では $\bar h(X^p) = \bar h(X)^p$ なので（補題 7.1［多項式環と体の拡大］ と $c^p = c$、$c \in \mathbb{F}_p$）

$$\bar h^p = \bar g\,\bar k.$$

$\bar g$ の既約因子 $u$ を取ると $u \mid \bar h^p$ から $u \mid \bar h$ で、$u^2 \mid \bar g\bar h = X^n - 1$ となります。これは $X^n - 1$ が $\mathbb{F}_p$ の拡大体で重根をもたないこと（補題 2.2）に反します。よって $g(\xi^p) = 0$ です。

$\gcd(a, n) = 1$ となる正の整数 $a$ を $n$ を割らない素数の積 $a = p_1\cdots p_r$ に書き、主張を $\zeta, \zeta^{p_1}, \zeta^{p_1p_2}, \ldots$ に順に使うと $g(\zeta^a) = 0$ です。よって $\Phi_n$ の根はすべて $g$ の根で、$\deg g \ge \varphi(n)$ です。一方 $g \mid \Phi_n$（$\Phi_n \in \mathbb{Q}[X]$ は $\zeta$ を根にもつ）なので $g = \Phi_n$ で、$\Phi_n$ は既約、$[\mathbb{Q}(\zeta) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$ です。

$\mathbb{Q}(\zeta)$ は $X^n - 1$ の最小分解体なので Galois 拡大です（定義 3.1［ガロア理論への招待］）。$\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ は $\zeta$ を $\Phi_n$ の根 $\zeta^{a(\sigma)}$ に移し、$\sigma\tau(\zeta) = \sigma(\zeta^{a(\tau)}) = \zeta^{a(\sigma)a(\tau)}$ なので $\sigma \mapsto a(\sigma)$ は $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ への準同型で、$\sigma$ は $\zeta$ の像で決まるので単射です。両辺の位数は $\varphi(n)$（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1）なので同型です。Abel 群の部分群はすべて正規で商も Abel 群ですから、部分体は $\mathbb{Q}$ 上 Abel 拡大です（同定理の 4）。

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$m \mid n$ なら $\zeta_m = \zeta_n^{n/m}$ なので $\mathbb{Q}(\zeta_m) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)$ で、$\gcd(m, n) = 1$ なら $\zeta_m\zeta_n$ が原始 $mn$ 乗根なので $\mathbb{Q}(\zeta_m)\mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}(\zeta_{mn})$ です。一般に $\mathbb{Q}(\zeta_m)\mathbb{Q}(\zeta_n) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{mn})$ で、円分体の合成体は円分体に含まれます。また $n$ が奇数なら $-\zeta_n$ は原始 $2n$ 乗根なので $\mathbb{Q}(\zeta_{2n}) = \mathbb{Q}(\zeta_n)$ です。

3. 素数冪の円分体

整数環を決めるために、局所的に単生成であることの判定法を 2 つ用意します。1 つは完全分岐の場合（第 1 章の 補題 9.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、もう 1 つは次の補題です。

整数環が $\mathbb{Z}[\zeta]$ になることを示す方針は、素数ごとに別々に確かめることです。素数 $\ell$ で「$\ell$ で割れない数による分数」までを許した範囲（局所化）で等しければ、全体でも等しい、という補題（補題 3.2）を使います。分岐する素数 $p$ では完全分岐の判定法を、それ以外の素数では次の補題を使います。

補題 3.1（微分が単元なら単生成）✓

$A$ を第 1 章 2.1 節の仮定を満たす Dedekind 整域、$K$ をその商体、$L = K(\alpha)$、$B$ を $L$ での $A$ の整閉包とし、$\alpha \in B$、$g$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とする。$g'(\alpha)$ が環 $A[\alpha]$ の単元ならば、$B = A[\alpha]$ かつ $\mathfrak{D}_{L/K} = B$ である。

証明（補題 3.1）

$M = A[\alpha]$ とし、$M^{*} = \{x \in L \mid \mathrm{Tr}_{L/K}(xM) \subseteq A\}$ とおきます。$M \subseteq B$ なので $B^{*} \subseteq M^{*}$ で、$B \subseteq B^{*}$ です（補題 8.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 1）。命題 8.6［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 2 から $M^{*} = g'(\alpha)^{-1}M = M$ です。よって $M \subseteq B \subseteq B^{*} \subseteq M^{*} = M$ で、$B = B^{*} = M$、$\mathfrak{D}_{L/K} = (B^{*})^{-1} = B$ です。

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補題 3.2（局所的に等しければ等しい）✓

$K$ を代数体、$M \subseteq \mathcal{O}_K$ を部分群とする。すべての素数 $\ell$ について、$\mathcal{O}_K$ の各元が $y/s$（$y \in M$、$s \in \mathbb{Z} \setminus \ell\mathbb{Z}$）の形に書けるならば、$M = \mathcal{O}_K$ である。

証明（補題 3.2）

$x \in \mathcal{O}_K$ に対し $J = \{a \in \mathbb{Z} \mid ax \in M\}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルです。仮定から、各素数 $\ell$ について $\ell$ で割れない元 $s$ が $J$ にあります。$J = c\mathbb{Z}$ と書くと $c$ はどの素数でも割れず $c = \pm 1$、すなわち $x \in M$ です。

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定理 3.3（素数冪の円分体）✓

$p$ を素数、$k \ge 1$、$n = p^k$、$\zeta = \zeta_n$、$K = \mathbb{Q}(\zeta)$、$\lambda = 1 - \zeta$ とする。

1. $\Phi_n(X) = \sum_{j=0}^{p-1}X^{jp^{k-1}}$、$\Phi_n(1) = p$。$\gcd(a, p) = 1$ なら $(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta)$ は $\mathbb{Z}[\zeta]$ の単元である。
2. $\lambda\mathcal{O}_K$ は素イデアルで、$p\mathcal{O}_K = (\lambda\mathcal{O}_K)^{\varphi(n)}$。すなわち $p$ は $K$ で完全分岐し、剰余次数は $1$ である。$p$ 以外の素数は $K$ で不分岐である。
3. $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\zeta]$。
4. $|d_K| = p^{\,p^{k-1}(pk - k - 1)}$。

証明（定理 3.3）

1. $X^{p^k} - 1 = \prod_{d \mid p^k}\Phi_d = (X^{p^{k-1}} - 1)\Phi_{p^k}$ なので、$Y = X^{p^{k-1}}$ として $\Phi_n = (Y^p - 1)/(Y - 1) = \sum_{j=0}^{p-1}Y^j$、$\Phi_n(1) = p$ です。$(1 - \zeta^a)/(1 - \zeta) = 1 + \zeta + \cdots + \zeta^{a-1} \in \mathbb{Z}[\zeta]$（$a \ge 1$ に取る）で、$ab \equiv 1 \pmod{p^k}$ となる $b \ge 1$ を取ると逆数は $(1 - \zeta^{ab})/(1 - \zeta^a) = 1 + \zeta^a + \cdots + \zeta^{a(b-1)} \in \mathbb{Z}[\zeta]$ です。

2. $\Phi_n(X) = \prod_a(X - \zeta^a)$ に $X = 1$ を代入し、1 を使うと $p = \prod_a(1 - \zeta^a) = u\lambda^{\varphi(n)}$（$u \in \mathbb{Z}[\zeta]^{\times}$）で、$p\mathcal{O}_K = (\lambda\mathcal{O}_K)^{\varphi(n)}$ です。$\lambda\mathcal{O}_K = \prod_i\mathfrak{P}_i^{a_i}$ と分解すると $p$ の上の素イデアルの分岐指数は $\varphi(n)a_i$ で、基本等式 $\sum_i\varphi(n)a_if_i = [K : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$（定理 5.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］、定理 2.3）から素因子は 1 個で $a_1 = f_1 = 1$ です。素数 $\ell \ne p$ については、$X^n - 1$ が $\ell$ を法として重根をもたないので（補題 2.2）、定理 5.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 1 から $\ell$ は $X^n - 1$ の最小分解体 $K$ で不分岐です。

3. 補題 3.2 を $M = \mathbb{Z}[\zeta]$ に使います。$\ell = p$ のとき、$A = \mathbb{Z}_{(p)}$ の $K$ での整閉包 $\mathcal{O}_{K,(p)}$ の素イデアルは $\lambda$ が生成するものだけで $e = \varphi(n) = [K : \mathbb{Q}]$ ですから、補題 9.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ により $\mathcal{O}_{K,(p)} = \mathbb{Z}_{(p)}[\lambda] = \mathbb{Z}_{(p)}[\zeta]$ です。$\ell \ne p$ のとき、$\Phi_n(X)(X^{p^{k-1}} - 1) = X^{p^k} - 1$ を微分して $X = \zeta$ を代入すると

$$\Phi_n'(\zeta)\,(\zeta^{p^{k-1}} - 1) = p^k\zeta^{p^k - 1}$$

です。右辺は $\mathbb{Z}_{(\ell)}[\zeta]$ の単元なので $\Phi_n'(\zeta)$ もそうで、補題 3.1（$A = \mathbb{Z}_{(\ell)}$）から $\mathcal{O}_{K,(\ell)} = \mathbb{Z}_{(\ell)}[\zeta]$ です。どちらの場合も $\mathcal{O}_K$ の元は $y/s$（$y \in \mathbb{Z}[\zeta]$、$\ell \nmid s$）と書けます。

4. $|d_K| = N\mathfrak{D}_{K/\mathbb{Q}}$ です（命題 8.5［分解群・惰性群・Frobenius 元］ とその直後の注意）。3 と 命題 8.6［分解群・惰性群・Frobenius 元］ から $\mathfrak{D}_{K/\mathbb{Q}} = \Phi_n'(\zeta)\mathcal{O}_K$ で、上の式から $\Phi_n'(\zeta)$ は $p^k/(\eta - 1)$ の単数倍です（$\eta := \zeta^{p^{k-1}}$ は 1 の原始 $p$ 乗根）。$v = v_{\lambda}$ とすると $v(p) = \varphi(n)$ です。$\eta$ について 1 を $k = 1$ で使うと $p$ は $(1 - \eta)^{p-1}$ の単数倍なので $v(1 - \eta) = \varphi(n)/(p - 1) = p^{k-1}$ です。よって

$$v(\mathfrak{D}_{K/\mathbb{Q}}) = k\varphi(n) - p^{k-1} = p^{k-1}(pk - k - 1)$$

で、$N(\lambda\mathcal{O}_K) = p$（剰余次数が $1$）から $|d_K| = p^{\,p^{k-1}(pk - k - 1)}$ です。

∎

$k = 1$ なら $|d_K| = p^{p-2}$ です。$p = 2$、$k = 2$ では $K = \mathbb{Q}(i)$、$|d_K| = 2^{2(4 - 2 - 1)} = 4$ で、二次体の判別式 $-4$ と合います。

4. 一般の円分体：整数環と分解法則

4.1. 整数環

素数冪の場合から一般の $n$ へ進むには、$n$ を素数冪の積に分けて、それぞれの円分体を合成します。次の補題は、次数が掛け合わさる（$[L : \mathbb{Q}] = mm'$）合成体で判別式が互いに素なら、合成体の整数環も「積の基底」で書ける、というものです。判別式が互いに素とは、2 つの体で分岐する素数が重ならないということです。証明では行列式と余因子行列を使って、基底の係数の分母が $d_K$ と $d_{K'}$ の両方で打ち消されることを示します。

補題 4.1（判別式が互いに素な体の合成）✓

$K, K'$ を次数 $m, m'$ の代数体、$L = KK'$ とし、$[L : \mathbb{Q}] = mm'$ かつ $\gcd(d_K, d_{K'}) = 1$ とする。$\omega_1, \ldots, \omega_m$ を $\mathcal{O}_K$ の整基底、$\omega'_1, \ldots, \omega'_{m'}$ を $\mathcal{O}_{K'}$ の整基底とすると、$\{\omega_i\omega'_j\}$ は $\mathcal{O}_L$ の整基底である。特に $\mathcal{O}_L$ は環として $\mathcal{O}_K$ と $\mathcal{O}_{K'}$ で生成される。

証明（補題 4.1）

$mm'$ 個の元 $\omega_i\omega'_j$ は $L$ を $\mathbb{Q}$ 上張るので（$L$ は $K$ と $K'$ の元の積の有限和の全体です）、$[L : \mathbb{Q}] = mm'$ から $\mathbb{Q}$ 基底です。$L$ の埋め込み $\tau \colon L \to \mathbb{C}$ は $mm'$ 個あり（補題 3.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、$L = KK'$ なので $\tau$ は組 $(\tau|_K, \tau|_{K'})$ で決まります。組は高々 $m \cdot m'$ 通りですから、対応 $\tau \mapsto (\tau|_K, \tau|_{K'})$ は全単射です。$K$ の埋め込みを $\sigma_1, \ldots, \sigma_m$ とし、$\tau_k|_K = \sigma_k$ かつ $\tau_k|_{K'}$ が包含写像であるような $L$ の埋め込み $\tau_k$ を取ります。

$\alpha \in \mathcal{O}_L$ を $\alpha = \sum_{i,j}c_{ij}\omega_i\omega'_j$（$c_{ij} \in \mathbb{Q}$）と書き、$x_i = \sum_jc_{ij}\omega'_j \in K'$ とおくと $\alpha = \sum_i\omega_ix_i$ で、$\tau_k$ を施して

$$\sum_{i=1}^m\sigma_k(\omega_i)\,x_i = \tau_k(\alpha) \qquad (1 \le k \le m)$$

です。$\Omega = (\sigma_k(\omega_i))_{k,i}$、$\delta = \det\Omega$ とすると $\delta^2 = d_K$ です（命題 3.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 4）。$\Omega$ の余因子行列 $\widetilde\Omega$ を左から掛けると（補題 3.2［加群・完全列・中山の補題］）$\delta x_i = \sum_k\widetilde\Omega_{ik}\tau_k(\alpha)$ です。$\widetilde\Omega$ の成分と $\tau_k(\alpha)$、$\delta$ は代数的整数なので、$d_Kx_i = \delta\cdot\delta x_i$ は代数的整数で、$K'$ の元ですから $d_Kx_i \in \mathcal{O}_{K'}$ です。$\omega'_j$ は整基底なので $d_Kc_{ij} \in \mathbb{Z}$ です。$K$ と $K'$ の役割を入れ替えて $d_{K'}c_{ij} \in \mathbb{Z}$ です。$\gcd(d_K, d_{K'}) = 1$ から $1 = ad_K + bd_{K'}$ と書けて $c_{ij} = a\,d_Kc_{ij} + b\,d_{K'}c_{ij} \in \mathbb{Z}$ です。逆に $\omega_i\omega'_j \in \mathcal{O}_L$ なので、$\{\omega_i\omega'_j\}$ は $\mathcal{O}_L$ の $\mathbb{Z}$ 基底です。

∎

定理 4.2（円分体の整数環）✓

任意の $n \ge 1$ について $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)} = \mathbb{Z}[\zeta_n]$ である。$n$ を割らない素数は $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ で不分岐で、$d_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}$ を割らない。

証明（定理 4.2）

素数 $\ell \nmid n$ は、$X^n - 1$ が $\ell$ を法として重根をもたないので $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ で不分岐で（補題 2.2、定理 5.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、判別式を割りません（定理 6.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。

整数環については、$n$ の相異なる素因数の個数に関する帰納法で示します。$n = 1$ は自明で、素数冪は 定理 3.3 です。$n = p^km$（$p \nmid m$、$k \ge 1$、$m > 1$）とし、$K = \mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$、$K' = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とすると $KK' = \mathbb{Q}(\zeta_n)$ で、次数は $\varphi(n) = \varphi(p^k)\varphi(m)$ です（定理 7.3［整除と素因数分解］）。$d_K$ は $p$ の冪で、$d_{K'}$ の素因数は $m$ の素因数に限られるので、互いに素です。補題 4.1 と帰納法の仮定から、$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}$ は $\mathbb{Z}[\zeta_{p^k}]$ と $\mathbb{Z}[\zeta_m]$ で生成され、$\zeta_{p^k}, \zeta_m \in \mathbb{Z}[\zeta_n]$ なので $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ に等しくなります。

∎

4.2. 分解法則

定理 4.3（円分体での素数の分解）✓

$n \ge 1$、$L = \mathbb{Q}(\zeta_n)$、$p$ を素数とし、$n = p^km$（$p \nmid m$、$k \ge 0$）と書く。$p$ の $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}$ での位数を $f_m$ とする。

1. $k = 0$ のとき $p$ は $L$ で不分岐で、Artin 記号は $(L/\mathbb{Q}, p) = \sigma_p$（$\zeta_n \mapsto \zeta_n^p$）である。$p$ は剰余次数 $f_n$ の素イデアル $\varphi(n)/f_n$ 個の積に分解する。
2. 一般に $p$ の $L$ での分岐指数は $e = \varphi(p^k)$、剰余次数は $f = f_m$、素因子の個数は $g = \varphi(m)/f_m$ である。$p$ の惰性体は $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ である。
3. $L$ で分岐する素数は、$n$ の素因数のうち「$p = 2$ かつ $k = 1$」の場合を除いたものである。

証明（定理 4.3）

1. 不分岐であることは 定理 4.2 です。$\mathfrak{P} \mid p$ を取り、$\sigma = \mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$、$\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^a$ とします。Frobenius 元の定義から $\zeta_n^a \equiv \zeta_n^p \pmod{\mathfrak{P}}$ です。$X^n - 1 = \prod_{b}(X - \zeta_n^b)$ は $\mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ で重根をもたないので（補題 2.2）、1 の $n$ 乗根は $\mathfrak{P}$ を法として相異なり、$\zeta_n^a = \zeta_n^p$、すなわち $\sigma = \sigma_p$ です。剰余次数は $\sigma_p$ の位数（命題 5.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 1）で、同型 $a \mapsto \sigma_a$ のもとで $p$ の $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ での位数 $f_n$ です。個数は $efg = \varphi(n)$ から出ます。

2. $k \ge 1$ とします。$K = \mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$、$K' = \mathbb{Q}(\zeta_m)$ とすると $L = KK'$、$[L : \mathbb{Q}] = \varphi(p^k)\varphi(m)$ です。$p$ の $L$、$K'$ での $(e, f, g)$ を添字で区別します。定理 3.3 から $p$ は $K$ で分岐指数 $\varphi(p^k)$、1 から $K'$ で $e_{K'} = 1$、$f_{K'} = f_m$、$g_{K'} = \varphi(m)/f_m$ です。分岐指数と剰余次数は塔で乗法的なので（補題 2.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、$\varphi(p^k) \mid e_L$、$f_m \mid f_L$ で、$K'$ の相異なる素イデアルの上には $L$ の相異なる素イデアルがあるので $g_L \ge g_{K'}$ です。$e_Lf_Lg_L = \varphi(p^k)\varphi(m) = \varphi(p^k)f_mg_{K'}$ と合わせて、3 つの不等式はすべて等号です。$p$ は $K'$ で不分岐なので $K'$ は惰性体 $T$ に含まれ（系 4.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4）、$[L : T] = e_L = \varphi(p^k) = [L : K']$ から $T = K'$ です。

3. 2 から $p$ が分岐するのは $\varphi(p^k) > 1$ のときで、これは $k \ge 1$ かつ $(p, k) \ne (2, 1)$ と同値です。

∎

系 4.4（完全分解する素数）✓

$p \nmid n$ とする。$p$ が $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ で完全分解することと $p \equiv 1 \pmod n$ は同値である。より一般に、$H \le (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ に対応する部分体 $M = \mathbb{Q}(\zeta_n)^H$ で $p$ が完全分解することと、$p \bmod n \in H$ は同値である。

証明（系 4.4）

$p$ は $M$ で不分岐で、$M/\mathbb{Q}$ は Galois 拡大です。命題 5.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4 と 5 により、$p$ が $M$ で完全分解することは $\sigma_p|_M = 1$、すなわち $\sigma_p \in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/M) = H$ と同値です（定理 4.3 の 1）。$H = 1$ の場合が前半です。

∎

これが「分解の型が合同条件で決まる」ことの正確な内容です。$M$ で完全分解する素数の集合は、$n$ を法とする剰余類のいくつかの和集合です。

系 4.5（n を法として 1 に合同な素数は無限個）✓

任意の $n \ge 1$ について、$p \equiv 1 \pmod n$ を満たす素数 $p$ は無限個ある。

証明（系 4.5）

主張：整数 $a$ と素数 $p \nmid n$ が $p \mid \Phi_n(a)$ を満たせば $p \equiv 1 \pmod n$。

$\Phi_n \mid X^n - 1$ から $a^n \equiv 1 \pmod p$ で、$a$ の $p$ を法とする位数 $d$ は $n$ の約数です。$d < n$ とすると $a^d - 1 = \prod_{c \mid d}\Phi_c(a) \equiv 0$ から、ある $c \mid d$ で $p \mid \Phi_c(a)$ です。$X^n - 1$ は $\Phi_n\Phi_c$ で割り切れるので、$\mathbb{F}_p$ で $\bar a$ は $X^n - 1$ の重根になり、補題 2.2 に反します。よって $d = n$ で、位数は $|\mathbb{F}_p^{\times}| = p - 1$ を割るので $n \mid p - 1$ です。

$p_1, \ldots, p_r$ を $n$ を法として $1$ に合同な素数とし（$r = 0$ でもよい）、$N = n\,p_1\cdots p_r\,t$ とおきます。$\Phi_n$ は定数でないので、$\Phi_n(x) = \pm 1$ となる整数 $x$ は有限個で、$t \ge 1$ を大きく取れば $|\Phi_n(N)| \ge 2$ です。$\Phi_n(N)$ の素因数 $p$ を取ります。$\Phi_n(N) \equiv \Phi_n(0) = \pm 1 \pmod N$ なので $p \nmid N$、特に $p \nmid n$ かつ $p \ne p_i$ です。主張から $p \equiv 1 \pmod n$ で、新しい素数が得られました。

∎

一般の算術級数 $a + n\mathbb{Z}$ に素数が無限個あること（Dirichlet の定理）は、第 6 章 で $L$ 関数を使って示します。

例 4.6（小さな円分体の部分体）

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の部分群から部分体が決まります。

• $n = 5$：$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$ は位数 4 の巡回群で、真の部分体は指数 2 の部分群 $\{\pm 1\}$ に対応する $\mathbb{Q}(\zeta_5)^{+} = \mathbb{Q}(\sqrt 5)$ だけです。
• $n = 7$：位数 6 の巡回群で、部分体は 2 次の $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ と 3 次の $\mathbb{Q}(\zeta_7)^{+} = \mathbb{Q}(\zeta_7 + \zeta_7^{-1})$ です。
• $n = 8$：$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} = \{1, 3, 5, 7\} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で、二次の部分体が 3 つあります。$\zeta_8 + \zeta_8^{-1} = \sqrt 2$、$\zeta_8^2 = i$、$\zeta_8 - \zeta_8^{-1} = \sqrt{-2}$ なので $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$、$\mathbb{Q}(i)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ です。
• $n = 12$：$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^{\times} = \{1, 5, 7, 11\} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で、$\mathbb{Q}(\zeta_{12}) = \mathbb{Q}(i, \sqrt{-3})$、二次の部分体は $\mathbb{Q}(i)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$、$\mathbb{Q}(\sqrt 3)$ です。

ℚ(ζ₇)（巡回群）と ℚ(ζ₈)（Klein の四元群）の部分体の束。

例 4.7（ℚ(ζ₇) の 3 次部分体での分解）

$\theta = \zeta_7 + \zeta_7^{-1}$ とすると $M = \mathbb{Q}(\theta) = \mathbb{Q}(\zeta_7)^{+}$ は $H = \{\pm 1\}$ の固定体で、3 次の巡回拡大です。$\theta^2 = \zeta_7^2 + \zeta_7^{-2} + 2$、$\theta^3 = \zeta_7^3 + \zeta_7^{-3} + 3\theta$ と $1 + \zeta_7 + \cdots + \zeta_7^6 = 0$ から $\theta^3 + \theta^2 - 2\theta - 1 = 0$ です。

系 4.4 から、素数 $p \ne 7$ が $M$ で完全分解するのは $p \equiv \pm 1 \pmod 7$ のときです。例えば $13 \equiv -1$ は完全分解し、$X^3 + X^2 - 2X - 1$ は $13$ を法として 3 つの根をもちます。それ以外の $p \ne 7$ では $\sigma_p|_M$ の位数が $3$ で、$p$ は $M$ で惰性です（$p = 2$ では $X^3 + X^2 + 1$ が $\mathbb{F}_2$ 上既約）。$7$ は完全分岐します。3 次方程式の根の個数が $p \bmod 7$ だけで決まるのは、この方程式の Galois 群が Abel 群だからです。

5. Gauss 和と二次体

定義 5.1（Gauss 和）↗

$p$ を奇素数、$\zeta = \zeta_p$ とする。

$$g := \sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac ap\right)\zeta^a \in \mathbb{Z}[\zeta]$$

を（二次の）Gauss 和という。$\left(\frac ap\right)$ は Legendre 記号（定義 3.2［原始根と平方剰余の相互法則］）である。$p^{*} := (-1)^{(p-1)/2}p$ とおく。

定理 5.2（Gauss 和の平方）✓

$g^2 = p^{*}$ である。したがって $\mathbb{Q}(\sqrt{p^{*}}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_p)$ で、これは $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ のただ 1 つの二次部分体である。また $\gcd(b, p) = 1$ について $\sigma_b(g) = \left(\frac bp\right)g$。

証明（定理 5.2）

$a, b$ を $1, \ldots, p - 1$ にわたって動かします。$a$ を固定すると $b \equiv ac$ となる $c \in \{1, \ldots, p - 1\}$ がちょうど 1 つあり、$\left(\frac{a \cdot ac}{p}\right) = \left(\frac{a^2}{p}\right)\left(\frac cp\right) = \left(\frac cp\right)$ です（系 3.4［原始根と平方剰余の相互法則］ の 1、2、4）。よって

$$g^2 = \sum_{a,b}\left(\frac{ab}{p}\right)\zeta^{a+b} = \sum_{c=1}^{p-1}\left(\frac cp\right)\sum_{a=1}^{p-1}\zeta^{a(1+c)}.$$

内側の和は、$c = p - 1$ のとき $p - 1$、それ以外では $\zeta^{1+c}$ が原始 $p$ 乗根なので $\sum_{a=1}^{p-1}(\zeta^{1+c})^a = -1$ です。$\sum_{c=1}^{p-1}\left(\frac cp\right) = 0$（同系の 5）を使うと

$$g^2 = \left(\frac{-1}{p}\right)(p - 1) - \sum_{c=1}^{p-2}\left(\frac cp\right) = \left(\frac{-1}{p}\right)(p - 1) + \left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{-1}{p}\right)p$$

で、$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}$（同系の 3）から $g^2 = p^{*}$ です。$p^{*}$ は有理数の平方でないので $\mathbb{Q}(g) = \mathbb{Q}(\sqrt{p^{*}})$ は二次体です。$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ は位数 $p - 1$ の巡回群で（定理 2.5［原始根と平方剰余の相互法則］）、指数 2 の部分群は 1 つだけですから、二次部分体は 1 つです。最後に $\sigma_b(g) = \sum_a\left(\frac ap\right)\zeta^{ab}$ で、$a' \equiv ab$ と置き換えると $\left(\frac ap\right) = \left(\frac{a'b}{p}\right)\left(\frac{b^2}{p}\right)^{-1} = \left(\frac{a'}{p}\right)\left(\frac bp\right)$ なので $\sigma_b(g) = \left(\frac bp\right)g$ です。

∎

系 5.3（二次体は円分体に含まれる）✓

平方因子をもたない整数 $m \ne 1$ について $\mathbb{Q}(\sqrt m) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{8|m|})$ である。

証明（系 5.3）

$m = \pm 2^{\varepsilon}p_1\cdots p_r$（$\varepsilon \in \{0, 1\}$、$p_i$ は相異なる奇素数）と書くと、$p_1^{*}\cdots p_r^{*} = \pm p_1\cdots p_r$ なので $m = \pm 2^{\varepsilon}p_1^{*}\cdots p_r^{*}$（符号は取り直す）です。$\sqrt{p_i^{*}} \in \mathbb{Q}(\zeta_{p_i})$（定理 5.2）、$\sqrt{-1} = \zeta_8^2$、$\sqrt 2 = \zeta_8 + \zeta_8^{-1}$ なので、$\sqrt m$ は $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ と $\mathbb{Q}(\zeta_{p_i})$ の合成体 $\mathbb{Q}(\zeta_{8p_1\cdots p_r})$ に属し、これは $\mathbb{Q}(\zeta_{8|m|})$ に含まれます。

∎

$\mathbb{Q}(\sqrt m)$ を含む最小の円分体は $\mathbb{Q}(\zeta_{|d|})$（$d$ は判別式）です。例えば $\mathbb{Q}(\sqrt 5) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_5)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) = \mathbb{Q}(\zeta_3)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 2) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_8)$ です。

平方剰余の相互法則（定理 5.3［原始根と平方剰余の相互法則］）は、格子点の数え上げで証明済みです。円分体を使うと、同じ法則が「Frobenius 元を部分体に制限する」という 1 行の操作から出ます。

命題 5.4（相互法則の円分体による証明）✓

$p, q$ を相異なる奇素数とする。$\left(\dfrac{p^{*}}{q}\right) = \left(\dfrac qp\right)$ であり、したがって $\left(\dfrac pq\right)\left(\dfrac qp\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$。

証明（命題 5.4）

$L = \mathbb{Q}(\zeta_p)$、$M = \mathbb{Q}(\sqrt{p^{*}}) \subseteq L$ とします。$q \ne p$ は $L$ で不分岐で $(L/\mathbb{Q}, q) = \sigma_q$ です（定理 4.3）。$\sigma_q|_M$ を 2 通りに計算します。

第 1 に、$\sigma_q(g) = \left(\frac qp\right)g$（定理 5.2）で $M = \mathbb{Q}(g)$ なので、$\sigma_q|_M = 1 \iff \left(\frac qp\right) = 1$ です。

第 2 に、$\sigma_q|_M$ は $M/\mathbb{Q}$ での $q$ の Frobenius 元で、それが $1$ であることは $q$ が $M$ で完全分解することと同値です（命題 5.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4 と 5）。$p^{*} \equiv 1 \pmod 4$ は平方因子をもたず $q \nmid p^{*}$ なので、命題 8.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 2 から、$q$ が $M$ で分解することは $\left(\frac{p^{*}}{q}\right) = 1$ と同値です。

2 つを比べて $\left(\frac{p^{*}}{q}\right) = \left(\frac qp\right)$（どちらも $\pm 1$）です。$\left(\frac{p^{*}}{q}\right) = \left(\frac{-1}{q}\right)^{(p-1)/2}\left(\frac pq\right) = (-1)^{\frac{q-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}}\left(\frac pq\right)$（系 3.4［原始根と平方剰余の相互法則］ の 1 と 3）を代入し、両辺に $\left(\frac pq\right)$ を掛ければ後半の式になります。

∎

6. 円分体の単数

次の補題は、0 でない代数的整数で、すべての共役（埋め込みによる像）の絶対値が 1 以下のものは 1 の冪根に限る、というものです。後で、単数 $u$ とその複素共役 $\bar u$ の比が 1 の冪根であることを示すのに使います。証明の方針は、条件を満たす多項式の係数が有界なので候補が有限個しかなく、冪が必ずどこかで重なる、というものです。

補題 6.1（Kronecker の補題）✓

$K$ を代数体、$\alpha \in \mathcal{O}_K$、$\alpha \ne 0$ とする。$K$ のすべての埋め込み $\sigma \colon K \to \mathbb{C}$ で $|\sigma(\alpha)| \le 1$ ならば、$\alpha$ は 1 の冪根である。

証明（補題 6.1）

$n = [K : \mathbb{Q}]$ とします。$k \ge 1$ について $\chi_k(X) = \prod_\sigma(X - \sigma(\alpha^k))$ は $\mathbb{Z}[X]$ に属します（命題 3.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の 1 と 命題 2.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。$X^{n-j}$ の係数は $\sigma(\alpha^k)$ たちの $j$ 次基本対称式で、$|\sigma(\alpha^k)| \le 1$ から絶対値は $\binom nj$ 以下です。係数が有界な整数である $n$ 次多項式は有限個しかないので、$\chi_k$（$k \ge 1$）は有限個で、その根である $\alpha^k$ の取りうる値も有限個です。よって $k < l$ で $\alpha^k = \alpha^l$ となるものがあり、$\alpha \ne 0$ から $\alpha^{l-k} = 1$ です。

∎

命題 6.2（円分体の単数）✓

$K = \mathbb{Q}(\zeta_n)$、$K^{+} = K \cap \mathbb{R}$ とし、複素共役を $x \mapsto \bar x$ と書く。

1. $n = p^k$（$p$ は素数）で $\gcd(a, p) = 1$ のとき、$(1 - \zeta_n^a)/(1 - \zeta_n)$ は $\mathcal{O}_K$ の単数である（円分単数）。
2. 任意の $n$ と単数 $u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ について、$u/\bar u$ は 1 の冪根である。
3. $n = p^k$、$p$ が奇素数のとき、$K$ に含まれる 1 の冪根は $\pm\zeta_n^j$ に限られ、任意の単数 $u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ は $u = \zeta_n^r u_{+}$（$r \in \mathbb{Z}$、$u_{+} \in \mathcal{O}_{K^{+}}^{\times}$）と書ける。

証明（命題 6.2）

1. 定理 3.3 の 1 です。

2. 複素共役は $K$ を保ち（$\bar\zeta_n = \zeta_n^{-1}$）、$\sigma_{-1}$ に一致します。$K$ の埋め込みは Galois 群の元 $\sigma_a$ で、Galois 群は Abel 群なので $\sigma_a(\bar u) = \sigma_a\sigma_{-1}(u) = \sigma_{-1}\sigma_a(u) = \overline{\sigma_a(u)}$ です。$\bar u$ も単数なので $\alpha = u/\bar u \in \mathcal{O}_K$ で、$|\sigma_a(\alpha)| = |\sigma_a(u)|/|\overline{\sigma_a(u)}| = 1$ です。補題 6.1 から $\alpha$ は 1 の冪根です。

3. $\xi \in K$ を位数 $m$ の 1 の冪根とすると、$\xi$ と $\zeta_n$ が生成する巡回群は位数 $N = \mathrm{lcm}(m, n)$ なので $\mathbb{Q}(\zeta_N) \subseteq K$、よって $\varphi(N) \le \varphi(n)$ です。$n = p^k \mid N$ なので $N = p^{k'}N'$（$k' \ge k$、$p \nmid N'$）と書け、$\varphi(N) = \varphi(p^{k'})\varphi(N') \ge \varphi(p^k)$ で、等号は $k' = k$ かつ $\varphi(N') = 1$、すなわち $N' \in \{1, 2\}$ のときです。よって $m \mid 2n$ で、$p$ は奇数なので $\xi = \pm\zeta_n^j$ です。

2 から $u = \pm\zeta_n^j\bar u$ です。$\lambda = 1 - \zeta_n$ とします。$u = \sum_ia_i\zeta_n^i$（$a_i \in \mathbb{Z}$。定理 3.3 の 3）と書くと、$\zeta_n \equiv 1 \pmod\lambda$ なので $u \equiv \sum_ia_i \equiv \bar u \pmod{\lambda}$ です。符号が負なら $u \equiv -\bar u \equiv -u$、すなわち $2u \in \lambda\mathcal{O}_K$ で、$u$ は単数なので $2 \in \lambda\mathcal{O}_K$ です。$p \in \lambda\mathcal{O}_K$ でもあり、$p$ は奇数なので $1 \in \lambda\mathcal{O}_K$ となって、$\lambda\mathcal{O}_K$ が素イデアルであることに反します。よって $u = \zeta_n^j\bar u$ です。$n$ は奇数なので $2r \equiv j \pmod n$ となる $r$ があり、$u_{+} := \zeta_n^{-r}u$ とすると $\overline{u_{+}} = \zeta_n^{r}\bar u = \zeta_n^{r}\zeta_n^{-2r}u = u_{+}$ で、$u_{+}$ は実の単数です。

∎

Dirichlet の単数定理（定理 6.1［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］）によれば $K$ と $K^{+}$ の単数群の階数はともに $\varphi(n)/2 - 1$ です。3 はそれを精密にして、単数の「大きさ」の情報がすべて実部分体にあることを示しています。

7. Kronecker–Weber の定理

7.1. 証明の構成

Kronecker–Weber の定理の証明の依存関係。

以下、$\mathbb{Q}$ の有限次 Galois 拡大 $K$ と素数 $p$ について、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ の惰性群を $I_{\mathfrak{P}}$ と書きます。$K/\mathbb{Q}$ が Abel 拡大なら $I_{\mathfrak{P}}$ は $p$ だけで決まるので $I_p$ と書きます。

補題 7.1（ℚ 上不分岐な拡大は自明）✓

代数体 $K \ne \mathbb{Q}$ では、少なくとも 1 つの素数が分岐する。

証明（補題 7.1）

$[K : \mathbb{Q}] \ge 2$ なら $|d_K| > 1$ で（系 4.4［イデアル類群の有限性と Minkowski 限界］）、$d_K$ は素因数 $p$ をもち、$p$ は $K$ で分岐します（定理 6.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。

∎

補題 7.2（惰性群の生成と制限）✓

$K/\mathbb{Q}$ を有限次 Galois 拡大、$G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ とする。

1. $G$ は、すべての素数 $p$ とその上のすべての素イデアル $\mathfrak{P}$ にわたる惰性群 $I_{\mathfrak{P}}$ で生成される。特に $K/\mathbb{Q}$ が Abel 拡大で、分岐する素数が $p$ だけなら $I_p = G$ で、$p$ は $K$ で完全分岐する。
2. $M$ を $\mathbb{Q}$ 上 Galois な中間体とすると、制限写像 $G \to \mathrm{Gal}(M/\mathbb{Q})$ は $I_{\mathfrak{P}}$ を $M$ の素イデアル $\mathfrak{P} \cap M$ の惰性群の上へ移す。また $i \ge 0$ と $H = \mathrm{Gal}(K/M)$ について、$K/M$ に関する $\mathfrak{P}$ の第 $i$ 分岐群は $G_i(\mathfrak{P} \mid p) \cap H$ である。

証明（補題 7.2）

1. すべての $I_{\mathfrak{P}}$ が生成する部分群を $N$ とします。$\tau I_{\mathfrak{P}}\tau^{-1} = I_{\tau\mathfrak{P}}$ なので $N$ は正規部分群で、$F = K^N$ は $\mathbb{Q}$ 上 Galois 拡大です。各 $\mathfrak{P}$ について $\mathrm{Gal}(K/F) = N \supseteq I_{\mathfrak{P}}$ なので $F$ は $\mathfrak{P}$ の惰性体に含まれ、$\mathfrak{P} \cap F$ は不分岐です（系 4.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 2）。$F$ の素イデアルはすべてこの形なので、$F$ ではどの素数も分岐せず、補題 7.1 から $F = \mathbb{Q}$、$N = G$ です。後半は、不分岐な素数の惰性群が自明で、Abel 拡大では $p$ の上の惰性群がすべて $I_p$ に等しいことによります。$|I_p| = e$ なので $e = [K : \mathbb{Q}]$ です。

2. $\sigma \in I_{\mathfrak{P}}$ の制限は $\mathfrak{P} \cap M$ を保ち、剰余体に自明に作用するので、$\mathfrak{P} \cap M$ の惰性群に入ります。像の位数は $[I_{\mathfrak{P}} : I_{\mathfrak{P}} \cap H] = e(\mathfrak{P} \cap M \mid p)$ で（系 4.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 1）、これは $\mathfrak{P} \cap M$ の惰性群の位数に等しいので（定理 3.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、像は惰性群全体です。分岐群については、定義の条件「すべての $x \in \mathcal{O}_K$ で $\sigma x \equiv x \pmod{\mathfrak{P}^{i+1}}$」が $\mathfrak{P}$ と $\mathcal{O}_K$ だけで書かれているので、$H$ の元でそれを満たすものの全体は $G_i \cap H$ です。

∎

補題 7.3（素数冪次数の巡回拡大への還元）✓

$K/\mathbb{Q}$ を有限次 Abel 拡大とする。$K$ は、$\mathbb{Q}$ 上の巡回拡大で次数が素数の冪であるような部分体 $K_1, \ldots, K_r$ の合成体である。

証明（補題 7.3）

$G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ は有限 Abel 群なので、素数冪位数の巡回群の直積 $G = C_1 \times \cdots \times C_r$ に分解します（系 6.1［加群と PID 上の構造定理］）。$H_i = \prod_{j \ne i}C_j$、$K_i = K^{H_i}$ とおくと、$\mathrm{Gal}(K_i/\mathbb{Q}) \cong G/H_i \cong C_i$ です（定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 4）。合成体 $K_1\cdots K_r$ を固定する $G$ の元の全体は $\bigcap_iH_i = 1$ なので、$K_1\cdots K_r = K$ です。

∎

7.2. 順分岐する素数を取り除く

次数が $p$ の冪の Abel 拡大 $K$ で、$p$ 以外の素数 $q$ が分岐しているとします。ここでの目標は、$q$ の分岐を円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_q)$ の部分体に押し付けて、$q$ が分岐しない別の拡大 $K'$ に取り替えることです。$q$ の惰性群の位数 $e$ は $p$ の冪で $q$ の倍数ではない（このような分岐を順分岐といいます）ので、惰性群は剰余体の乗法群 $\mathbb{F}_q^{\times}$ に入り、したがって $e \mid q - 1$ となります。これが $\mathbb{Q}(\zeta_q)$ の位数 $e$ の部分体 $L$ を使える理由です。

補題 7.4（順分岐の除去）✓

$p$ を素数、$K/\mathbb{Q}$ を次数が $p$ の冪の Abel 拡大とし、素数 $q \ne p$ が $K$ で分岐するとする。このとき、次数が $p$ の冪の Abel 拡大 $K'/\mathbb{Q}$ で、次を満たすものがある。

1. $K \subseteq K'\,\mathbb{Q}(\zeta_q)$。
2. $q$ は $K'$ で不分岐であり、$K'$ で分岐する素数は $K$ でも分岐する。

証明（補題 7.4）

(a) $e \mid q - 1$。 $G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$、$\mathfrak{Q}$ を $q$ の上の $K$ の素イデアル、$I = I_q$、$e = |I|$ とします。$e$ は $|G|$ の約数なので $p$ の冪で、$q \nmid e$ です。定理 9.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 5 から $G_1 = 1$ で、同定理の 3 から、素元 $\pi$ の取り方によらない単射準同型

$$\theta_0 \colon I \longrightarrow \kappa(\mathfrak{Q})^{\times}, \qquad \sigma \longmapsto \sigma\pi/\pi \bmod \mathfrak{Q}$$

があります。$\tau \in D(\mathfrak{Q} \mid q)$ とすると $\tau^{-1}\pi$ も $v_{\mathfrak{Q}}(\tau^{-1}\pi) = 1$ を満たすので $\theta_0(\sigma) = \sigma(\tau^{-1}\pi)/\tau^{-1}\pi \bmod \mathfrak{Q}$ で、$\tau$ を施すと

$$\bar\tau\bigl(\theta_0(\sigma)\bigr) = \frac{\tau\sigma\tau^{-1}\pi}{\pi} \bmod \mathfrak{Q} = \theta_0(\tau\sigma\tau^{-1}) = \theta_0(\sigma)$$

です（最後の等号は $G$ が Abel 群だから）。$\tau$ として $\bar\tau$ が $x \mapsto x^q$ になるものを取れるので（定理 3.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、$\theta_0(\sigma)^q = \theta_0(\sigma)$、すなわち $\theta_0(\sigma) \in \mathbb{F}_q^{\times}$ です。よって $I$ は位数 $q - 1$ の巡回群 $\mathbb{F}_q^{\times}$ の部分群に同型で、巡回群であり、$e \mid q - 1$ です。

(b) 円分体の部分体 $L$。 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_q)/\mathbb{Q})$ は位数 $q - 1$ の巡回群なので、次数 $e$ の部分体 $L$ がただ 1 つあり、$L/\mathbb{Q}$ は位数 $e$ の巡回拡大です。$q$ は $\mathbb{Q}(\zeta_q)$ で完全分岐するので（定理 3.3）、補題 2.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ から $L$ でも完全分岐し、$q$ 以外の素数は $L$ で不分岐です。

(c) 合成体での惰性群。 $KL$ は Galois 拡大で、制限 $\Gamma := \mathrm{Gal}(KL/\mathbb{Q}) \to \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) \times \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は単射準同型です。よって $\Gamma$ は Abel 群で、位数は $[K : \mathbb{Q}]\,e$ の約数、すなわち $p$ の冪です。$q$ の $KL$ での惰性群 $I'$ は $p$ 群なので、(a) と同じ理由（$q \nmid |I'|$ から $G_1 = 1$）で巡回群です。補題 7.2 の 2 から、$I'$ の $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ への像は $I$（位数 $e$）、$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ への像は全体（位数 $e$）です。$I'$ は $I \times \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ に単射で入り、この群の元の位数はすべて $e$ の約数です。$I'$ は巡回群なので $|I'| \mid e$、一方 $I'$ は位数 $e$ の群に全射するので $|I'| = e$ で、制限 $I' \to \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ は全単射です。

(d) $K'$ の構成。 $K' := (KL)^{I'}$ とします。$K'/\mathbb{Q}$ は Abel 拡大で、次数は $p$ の冪です。$K'$ は $q$ の惰性体なので $q$ は $K'$ で不分岐です（系 4.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4）。$\mathrm{Gal}(KL/K'L) = I' \cap \mathrm{Gal}(KL/L)$ は制限 $I' \to \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の核で、(c) から自明です。よって $K'L = KL$ で、$K \subseteq K'L \subseteq K'\mathbb{Q}(\zeta_q)$ です。素数 $\ell$ が $K'$ で分岐すれば $KL$ でも分岐し、系 4.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ から $K$ または $L$ で分岐します。$L$ で分岐するのは $q$ だけで、$q$ は $K'$ で不分岐ですから、$\ell$ は $K$ で分岐します。

∎

7.3. p だけで分岐する p 冪次拡大

残るのは、$p$ だけが分岐する $p$ 冪次の Abel 拡大です。方針は 3 段階です。まず次数 $p$ の巡回体について、分岐の強さを表す 共役差積 の $\mathfrak{P}$ 進の指数 $v_{\mathfrak{P}}$（$\mathfrak{P}$ で何回割れるかを表す数）を評価します。次に、その評価を使って、$p$ が奇素数のとき、$p$ だけで分岐する次数 $p$ の巡回体が高々 1 つしかないことを示します。最後に、次数が大きい場合を、次数 $p$ の巡回体の積み重ねに帰着させます。

補題 7.5（次数 p の巡回体の共役差積）✓

$p$ を素数、$E/\mathbb{Q}$ を次数 $p$ の巡回拡大で、分岐する素数が $p$ だけのものとし、$\mathfrak{P}$ を $p$ の上の素イデアルとする。このとき $p \le v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{E/\mathbb{Q}}) \le 2p - 1$ である。$p$ が奇数なら $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{E/\mathbb{Q}}) = 2(p - 1)$ で、分岐群は $G_0 = G_1 = \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$、$G_2 = 1$ である。

証明（補題 7.5）

補題 7.2 の 1 から $p$ は $E$ で完全分岐し、$\mathfrak{P}$ は $p$ の上のただ 1 つの素イデアルで $e = p$ です。$A = \mathbb{Z}_{(p)}$ とし、$v_{\mathfrak{P}}(\pi) = 1$ となる $\pi \in \mathcal{O}_E$ を取ると、補題 9.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ から $\mathcal{O}_{E,(p)} = A[\pi]$、$E = \mathbb{Q}(\pi)$、$a \in \mathbb{Q}^{\times}$ で $v_{\mathfrak{P}}(a) = p\,v_p(a)$ です。$\pi$ の最小多項式を $h = X^p + a_1X^{p-1} + \cdots + a_p$ とします。$h = \prod_{\sigma \in G}(X - \sigma\pi)$ で、$\sigma\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$ から $v_{\mathfrak{P}}(\sigma\pi) = 1$ なので、$a_i$（$\sigma\pi$ たちの $i$ 次基本対称式の $\pm 1$ 倍）は $v_{\mathfrak{P}}(a_i) \ge i \ge 1$ を満たし、$a_i \in \mathbb{Z}$ ですから $v_p(a_i) \ge 1$ です。

命題 8.6［分解群・惰性群・Frobenius 元］ と局所化（同章の 補題 8.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 3）から $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{E/\mathbb{Q}}) = v_{\mathfrak{P}}(h'(\pi))$ で、

$$h'(\pi) = p\pi^{p-1} + \sum_{i=1}^{p-1}(p - i)\,a_i\,\pi^{p-i-1}$$

です。第 1 項の付値は $p + (p - 1) = 2p - 1$ です。$1 \le i \le p - 1$ の項は、$p - i$ が $p$ で割れないので、$a_i \ne 0$ なら付値は $p\,v_p(a_i) + (p - i - 1)$ で、$p$ で割った余りは $p - i - 1 \in \{0, \ldots, p - 2\}$、値は $p$ 以上です。$2p - 1$ の余りは $p - 1$ なので、$0$ でない項の付値はすべて相異なり、$v_{\mathfrak{P}}(h'(\pi))$ はその最小値です。よって $p \le v_{\mathfrak{P}}(h'(\pi)) \le 2p - 1$ です。

$G = \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$ は位数 $p$ で $G_0 = G$、$G_1$ は $e = p$ の $p$ 部分を位数にもつので $G_1 = G$ です（定理 9.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 5）。$G_i$ は $G$ か $1$ なので、$G_s = G$、$G_{s+1} = 1$ となる $s \ge 1$ があり、Hilbert の公式（定理 9.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］）から $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{E/\mathbb{Q}}) = (s + 1)(p - 1)$ です。$p$ が奇数のとき、$(s + 1)(p - 1) \le 2p - 1 < 3(p - 1)$ から $s = 1$ です。

∎

補題 7.6（p だけで分岐する次数 p の巡回体の一意性）✓

$p$ を奇素数とする。$\mathbb{Q}$ 上の次数 $p$ の巡回拡大で、分岐する素数が $p$ だけのものは、$\mathbb{C}$ の中に高々 1 つである。

証明（補題 7.6）

そのような体が $E_1 \ne E_2$ と 2 つあるとし、$F = E_1E_2$ とします。$\Gamma = \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ は $\mathrm{Gal}(E_1/\mathbb{Q}) \times \mathrm{Gal}(E_2/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ に単射で入り、$F \ne E_1$ から $|\Gamma| > p$ なので $\Gamma \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ です。$F$ で分岐する素数は $p$ だけなので（系 4.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、補題 7.2 の 1 から $p$ は $F$ で完全分岐します。$\mathfrak{P}$ を $p$ の上の $F$ の素イデアルとすると $e = p^2$、$f = 1$ で、$\kappa(\mathfrak{P}) = \mathbb{F}_p$ です。

$\mathfrak{P}$ の分岐群 $\Gamma_i$ を考えます。$\Gamma_0 = \Gamma_1 = \Gamma$ です（定理 9.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 5）。同定理の 4 から、$i \ge 1$ で $\Gamma_i/\Gamma_{i+1}$ は $\kappa(\mathfrak{P})$ 上 1 次元の線形空間、すなわち位数 $p$ の群に単射で入るので、$[\Gamma_i : \Gamma_{i+1}] \in \{1, p\}$ です。$\Gamma_i$ は十分大きい $i$ で自明なので、

$$\Gamma = \Gamma_1 = \cdots = \Gamma_r \supsetneq \Gamma_{r+1} = \cdots = \Gamma_t \supsetneq \Gamma_{t+1} = 1, \qquad 1 \le r < t$$

となる $r, t$ があり、$H := \Gamma_{r+1}$ は位数 $p$ です。$\Gamma$ には位数 $p$ の部分群が $p + 1$ 個あるので、$H' \ne H$ となる位数 $p$ の部分群 $H'$ を取り、$E = F^{H}$、$E' = F^{H'}$ とします。どちらも $\mathbb{Q}$ 上の次数 $p$ の巡回拡大で、分岐する素数は $p$ だけです（$p$ は $F$ で完全分岐するので $E, E'$ でも分岐し、他の素数は $F$ で不分岐です）。

$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/\mathbb{Q}})$ を 2 通りに計算します。共役差積の推移律（定理 8.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］）と 補題 7.5、$e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{P} \cap E) = p$ から

$$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/\mathbb{Q}}) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/E}) + p\cdot 2(p - 1)$$

で、$E'$ についても同じ式が成り立ちます。よって $v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/E}) = v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/E'})$ です。$F/E$ の分岐群は $\Gamma_i \cap H$（補題 7.2 の 2）で、$i \le t$ では $H$、$i > t$ では $1$ です。$F/E'$ の分岐群 $\Gamma_i \cap H'$ は、$i \le r$ では $H'$、$i > r$ では $H \cap H' = 1$ に含まれるので $1$ です。Hilbert の公式（定理 9.4［分解群・惰性群・Frobenius 元］）から

$$v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/E}) = (t + 1)(p - 1), \qquad v_{\mathfrak{P}}(\mathfrak{D}_{F/E'}) = (r + 1)(p - 1)$$

で、$t = r$ となり、$r < t$ に反します。

∎

補題 7.7（p だけで分岐する p 冪次の Abel 拡大）✓

$p$ を素数、$K/\mathbb{Q}$ を次数 $p^m$ の Abel 拡大で、分岐する素数が $p$ だけのものとする。

1. $p$ が奇数で $K/\mathbb{Q}$ が巡回拡大なら、$K$ は $\mathbb{Q}(\zeta_{p^{m+1}})$ のただ 1 つの $p^m$ 次部分体に等しい。
2. $p = 2$ で、$K$ が実（$K \subseteq \mathbb{R}$）な巡回拡大なら、$K \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{2^{m+2}})^{+}$ である。
3. 一般に、ある $N \ge 1$ について $K \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{p^N})$ である。

証明（補題 7.7）

$m = 0$ なら $K = \mathbb{Q}$ なので $m \ge 1$ とします。

準備。 巡回でない有限 Abel $p$ 群 $\Gamma$ は指数 $p$ の部分群を 2 つ以上もちます。実際 $\Gamma \cong \bigoplus_{j=1}^s\mathbb{Z}/p^{a_j}\mathbb{Z}$（$a_j \ge 1$）と書くと（系 6.1［加群と PID 上の構造定理］）$s \ge 2$ で、第 1 成分と第 2 成分をそれぞれ $p$ を法として見る 2 つの全射 $\Gamma \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の核が相異なる指数 $p$ の部分群です。

1. $(\mathbb{Z}/p^{m+1}\mathbb{Z})^{\times}$ は位数 $p^m(p - 1)$ の巡回群なので（定理 2.8［原始根と平方剰余の相互法則］）、$\mathbb{Q}(\zeta_{p^{m+1}})$ は $p^m$ 次の部分体 $L$ をただ 1 つもち、$L/\mathbb{Q}$ は巡回拡大で、分岐する素数は $p$ だけです（定理 3.3）。$\Gamma = \mathrm{Gal}(KL/\mathbb{Q})$ は $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) \times \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z})^2$ に単射で入るので、Abel $p$ 群で、元の位数はすべて $p^m$ の約数です。$KL \ne L$ とすると $|\Gamma| > p^m$ で、$\Gamma$ は巡回群ではありません。準備から $\Gamma$ は指数 $p$ の部分群を 2 つもち、その固定体は相異なる次数 $p$ の巡回拡大で、$KL$ の部分体なので分岐する素数は $p$ だけです（系 4.3［分解群・惰性群・Frobenius 元］。$\mathbb{Q}$ 上不分岐ではありえないので $p$ は分岐します）。これは 補題 7.6 に反します。よって $KL = L$、$K \subseteq L$ で、次数が等しいので $K = L$ です。

2. まず $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}$（$k \ge 3$）の構造を確かめます。$j \ge 0$ について $5^{2^j} = 1 + 2^{j+2}u_j$（$u_j$ は奇数）です。実際 $j = 0$ では $5 = 1 + 4$ で、$(1 + 2^{j+2}u)^2 = 1 + 2^{j+3}(u + 2^{j+1}u^2)$ の括弧内は奇数です。よって $5$ の $2^k$ を法とする位数は $2^{k-2}$ で、$5^a \equiv 1 \pmod 4$ から $-1$ は $5$ の冪に合同ではありません。位数を比べて $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times} = \{\pm 1\} \times \langle 5\rangle$ で、$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{2^k})^{+}/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^{\times}/\{\pm 1\}$ は位数 $2^{k-2}$ の巡回群です（$\sigma_{-1}$ は複素共役で、その固定体が最大実部分体です）。

$L = \mathbb{Q}(\zeta_{2^{m+2}})^{+}$ は実の $2^m$ 次巡回拡大で、分岐する素数は $2$ だけです。1 と同じ議論で、$KL \ne L$ なら $\mathrm{Gal}(KL/\mathbb{Q})$ は巡回でない Abel $2$ 群で、$KL$ は相異なる二次部分体を 2 つもちます。それらは実で、分岐する素数は $2$ だけです。ところが実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt d)$（$d > 1$ は平方因子をもたない）の判別式は $d \equiv 1 \pmod 4$ なら $d$、それ以外は $4d$ で（命題 8.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、分岐する素数はその素因数ですから（定理 6.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］、定理 6.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）、$2$ だけで分岐するのは $d = 2$ のときに限ります。これは矛盾で、$K \subseteq L$ です。

3. 補題 7.3 により $K$ は巡回な部分体 $K_j$（次数は $p$ の冪、分岐する素数は $p$ だけ）の合成体で、円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_{p^a})$ たちの合成体は $\mathbb{Q}(\zeta_{p^N})$（$N$ は $a$ の最大値）ですから、$p$ が奇数なら 1 から従います。$p = 2$ とします。$K(i)$ は $K$ と $\mathbb{Q}(i)$ の合成体なので、次数が $2$ の冪の Abel 拡大で、分岐する素数は $2$ だけです。複素共役 $c$ は Galois 拡大 $K(i)/\mathbb{Q}$ の自己同型を誘導し、$c(i) \ne i$ なので位数 $2$ です。その固定体 $F = K(i) \cap \mathbb{R}$ は $[K(i) : F] = 2$、$i \notin F$ を満たし、$F(i) = K(i)$ です。$F$ は実で、次数が $2$ の冪の Abel 拡大、分岐する素数は $2$ だけです（$F = \mathbb{Q}$ でなければ）。補題 7.3 で $F$ を実の巡回体の合成体に分け、2 を使うと $F \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{2^N})$（$N \ge 2$）で、$K \subseteq F(i) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{2^N})$ です。

∎

7.4. 定理の証明と導手

定理 7.8（Kronecker–Weber の定理）✓

$\mathbb{Q}$ の有限次 Abel 拡大 $K$（$K \subseteq \mathbb{C}$）は、ある $n \ge 1$ について $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ に含まれる。

証明（定理 7.8）

補題 7.3 により $K$ は素数冪次数の Abel 拡大の合成体で、円分体の合成体は円分体に含まれるので、$[K : \mathbb{Q}] = p^m$（$p$ は素数）の場合を示せば足ります。$K$ で分岐する $p$ 以外の素数の個数 $s$ に関する帰納法を使います。

$s = 0$ なら、分岐する素数は $p$ だけ（または $K = \mathbb{Q}$）で、補題 7.7 の 3 から $K \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{p^N})$ です。

$s \ge 1$ とし、$K$ で分岐する素数 $q \ne p$ を取ります。補題 7.4 の $K'$ は次数が $p$ の冪の Abel 拡大で、$K'$ で分岐する $p$ 以外の素数は、$K$ で分岐する $p$ 以外の素数から $q$ を除いたものに含まれるので、高々 $s - 1$ 個です。帰納法の仮定から $K' \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{n'})$ で、$K \subseteq K'\mathbb{Q}(\zeta_q) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_{n'q})$ です。

∎

定義 7.9（Abel 拡大の導手）↗

$\mathbb{Q}$ の有限次 Abel 拡大 $K$ に対し、$K \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)$ となる最小の正の整数 $n$ を $K$ の導手（conductor）という。定理 7.8 により導手は存在する。

系 7.10（導手と分岐）✓

$\mathbb{Q}$ の有限次 Abel 拡大 $K$ の導手を $n$ とする。素数 $p$ が $K$ で分岐することと $p \mid n$ は同値である。$p \nmid n$ のとき、$p$ の $K$ での Artin 記号は $\sigma_p|_K$ で、$p$ の分解の型は $p \bmod n$ だけで決まる。

証明（系 7.10）

$p \nmid n$ なら $p$ は $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ で不分岐で（定理 4.3）、その部分体 $K$ でも不分岐です。Artin 記号は 命題 5.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4 から $\sigma_p|_K$ です。逆に $p \mid n$ とし、$n = p^km$（$k \ge 1$、$p \nmid m$）と書きます。$p$ が $K$ で不分岐なら、$K$ は $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ における $p$ の惰性体に含まれ（系 4.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］ の 4）、それは $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ です（定理 4.3 の 2）。$m < n$ なので導手の最小性に反します。

∎

導手 $n$ の Abel 拡大 $K$ は $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ の部分群 $H$ と $K = \mathbb{Q}(\zeta_n)^H$ で対応し、$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}/H$ です。「Abel 拡大は、合同条件で定まる群の商で分類され、Artin 記号がその同型を与える」というこの形が、一般の代数体の上で成り立つというのが 類体論 の主張です。一般の代数体では円分体に当たる具体的な体が知られていないため、証明はまったく別の道をたどります。

8. 例

例 8.1（7 ≡ 1 (mod 3) の分解）

$\mathbb{Q}(\zeta_3) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ で、$7 \equiv 1 \pmod 3$ は完全分解します（系 4.4）。$\omega = \zeta_3$ とすると $N(a + b\omega) = a^2 - ab + b^2$ で、$N(3 + 2\omega) = 9 - 6 + 4 = 7$ ですから

$$7 = (3 + 2\omega)(3 + 2\omega^2) = (3 + 2\omega)(1 - 2\omega)$$

です（$\omega^2 = -1 - \omega$）。$2 \equiv 2 \pmod 3$ は位数 $2$ なので惰性、$3 = -\omega^2(1 - \omega)^2$ は完全分岐です。

例 8.2（3 次巡回体 ℚ(ζ₉)⁺ の導手）

$\theta = \zeta_9 + \zeta_9^{-1}$ とすると $\theta^3 = \zeta_9^3 + \zeta_9^{-3} + 3\theta = -1 + 3\theta$（$\zeta_9^3 = \zeta_3$ で $\zeta_3 + \zeta_3^{-1} = -1$）なので、$\theta$ は $X^3 - 3X + 1$ の根です。$M = \mathbb{Q}(\theta) = \mathbb{Q}(\zeta_9)^{+}$ は $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^{\times}/\{\pm 1\}$ を Galois 群とする 3 次巡回体で、分岐する素数は $3$ だけです。導手 $n$ の素因数は $3$ だけで（系 7.10）、$n \mid 9$、$\mathbb{Q}(\zeta_3)$ は 2 次なので $n = 9$ です。これは 補題 7.6 の「$3$ だけで分岐する 3 次巡回体」そのものです。素数 $p \ne 3$ が $M$ で完全分解するのは $p \equiv \pm 1 \pmod 9$ のときで、例えば $17$ と $19$ です。

例 8.3（ℚ(∛2) は円分体に入らない）

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ が円分体に含まれれば $\mathbb{Q}$ 上 Galois 拡大のはずです（定理 2.3）。Galois 拡大では $p$ の上の素イデアルの剰余次数はすべて等しくなりますが（補題 3.1［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、$X^3 - 2 \equiv (X - 3)(X^2 + 3X + 4) \pmod 5$ なので、$5$ は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ で剰余次数 $1$ と $2$ の素イデアルに分かれます（定理 7.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］。指数 $[\mathcal{O} : \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]]$ は $1$ です）。よって Galois 拡大ではなく、どの円分体にも含まれません。同じ理由で、$X^3 - 2$ が $p$ を法として何個の根をもつかは、$p$ のどんな合同条件でも記述できません。

例 8.4（正 17 角形と ℚ(ζ₁₇) の部分体の塔）

$(\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^{\times}$ は位数 $16$ の巡回群で、$3$ が生成元です（$3^8 = 6561 = 17\cdot 386 - 1 \equiv -1$）。部分群の列 $\langle 3\rangle \supset \langle 3^2\rangle \supset \langle 3^4\rangle \supset \langle 3^8\rangle \supset 1$ に対応して、各段が 2 次の体の塔

$$\mathbb{Q} \subset K_2 \subset K_4 \subset K_8 \subset K_{16} = \mathbb{Q}(\zeta_{17})$$

があります。$K_2 = \mathbb{Q}(\sqrt{17})$（定理 5.2、$17^{*} = 17$）、$K_8 = \mathbb{Q}(\zeta_{17})^{+} = \mathbb{Q}(\cos(2\pi/17))$ です。各段は平方根を 1 つ添加して得られるので、$\cos(2\pi/17)$ は有理数から四則と平方根を有限回使って書け、正 17 角形は定規とコンパスで作図できます。一般に正 $n$ 角形でこの塔が作れる条件は $\varphi(n)$ が $2$ の冪であることで、逆に作図できるなら $\varphi(n) = [\mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}]$ は $2$ の冪です（定理 8.2［多項式環と体の拡大］）。

9. 演習

演習 9.1易

素数 $2, 5, 11, 19$ の $\mathbb{Q}(\zeta_5)$ での $(e, f, g)$ を求めよ。また、それぞれが $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ でどう分解するかを述べよ。

解答

$5$ は完全分岐で $(4, 1, 1)$、$\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ でも分岐します。$p \ne 5$ では $e = 1$ で、$f$ は $p$ の $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times}$ での位数です（定理 4.3）。$2$ は位数 $4$（$2, 4, 3, 1$）なので $(1, 4, 1)$、$11 \equiv 1$ は $(1, 1, 4)$、$19 \equiv 4$ は位数 $2$ で $(1, 2, 2)$ です。$\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ は $H = \{\pm 1\}$ の固定体なので、$p$ が分解するのは $p \equiv \pm 1 \pmod 5$ のときです（系 4.4）。よって $11$ と $19$ は分解し、$2$ は惰性です。これは $\left(\frac 5p\right) = \left(\frac p5\right)$ による判定と一致します。

演習 9.2標準

$\gcd(m, n) = 1$ のとき $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}$ であることを、分岐を使って示せ。

解答

$F = \mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)$ とします。素数 $p$ が $F$ で分岐すれば、$F$ を含む $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ と $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ の両方で分岐するので（補題 2.2［分解群・惰性群・Frobenius 元］）、定理 4.3 の 3 から $p \mid m$ かつ $p \mid n$ となり、$\gcd(m, n) = 1$ に反します。よって $F$ ではどの素数も分岐せず、補題 7.1 から $F = \mathbb{Q}$ です。次数の計算 $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ からも同じ結論が出ますが、この証明は「$\mathbb{Q}$ 上不分岐な拡大がない」ことの典型的な使い方です。

演習 9.3標準

$p = 5$ の Gauss 和を具体的に書き、$g^2 = 5$ を直接確かめよ。また $g = \sqrt 5$（正の平方根）であることを示し、$\cos(2\pi/5)$ の値を求めよ。

解答

$5$ を法とする平方剰余は $1, 4$ なので $g = \zeta - \zeta^2 - \zeta^3 + \zeta^4$（$\zeta = \zeta_5$）です。$\alpha = \zeta + \zeta^4$、$\beta = \zeta^2 + \zeta^3$ とすると $g = \alpha - \beta$、$\alpha + \beta = -1$、$\alpha\beta = \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta^6 + \zeta^7 = \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 = -1$ です。よって $g^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1 + 4 = 5$ です。$\alpha = 2\cos(2\pi/5) > 0$、$\beta = 2\cos(4\pi/5) < 0$ なので $g = \alpha - \beta > 0$、$g = \sqrt 5$ です。$\alpha = ((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))/2 = (-1 + \sqrt 5)/2$ から $\cos(2\pi/5) = (\sqrt 5 - 1)/4$ です。

演習 9.4難

$q$ を奇素数とする。$\mathbb{Q}(\sqrt{q^{*}})$ の導手が $q$ であること、$q \equiv 1 \pmod 4$ のとき $\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ の導手が $4q$ であることを示せ。

解答

$\mathbb{Q}(\sqrt{q^{*}}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_q)$ です（定理 5.2）。導手 $n$ は $q$ 以下で、$q$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{q^{*}})$ で分岐する（$q \mid d = q^{*}$）ので $q \mid n$ です（系 7.10）。よって $n = q$ です。

$q \equiv 1 \pmod 4$ のとき $q^{*} = q$ で、$\sqrt{-q} = i\sqrt q \in \mathbb{Q}(\zeta_4)\mathbb{Q}(\zeta_q) = \mathbb{Q}(\zeta_{4q})$ なので $n \le 4q$ です。$-q \equiv 3 \pmod 4$ なので判別式は $-4q$ で、$2$ と $q$ が分岐し、$2 \mid n$、$q \mid n$ です。$n \equiv 2 \pmod 4$ なら $\mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}(\zeta_{n/2})$ となって最小性に反するので $4 \mid n$、したがって $4q \mid n$ で、$n = 4q$ です。

参考文献

• L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 83, Springer, 1997 — Chapter 1–2（円分体の基本）、Chapter 14（Kronecker–Weber の定理）。
• D. A. Marcus, Number Fields, Universitext, Springer — Chapter 2（円分体の整数環）、Chapter 4 の演習（Kronecker–Weber の定理の初等的証明の筋道）。
• J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — Chapter I §10（円分体）。
• K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 84, Springer, 1990 — Chapter 6（Gauss 和）、Chapter 13（円分体）。
• M. J. Greenberg, “An elementary proof of the Kronecker–Weber theorem”, American Mathematical Monthly 81 (1974) — 分岐群を使う初等的証明。