数学 › 代数的整数論・類体論 › 円分体と Kronecker–Weber の定理

惰性群の生成と制限

補題 7.2（「円分体と Kronecker–Weber の定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$K/\mathbb{Q}$ を有限次 Galois 拡大、 $G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ とする。

$G$ は、すべての素数 $p$ とその上のすべての素イデアル $\mathfrak{P}$ にわたる惰性群 $I_{\mathfrak{P}}$ で生成される。特に $K/\mathbb{Q}$ が Abel 拡大で、分岐する素数が $p$ だけなら $I_p = G$ で、 $p$ は $K$ で完全分岐する。
$M$ を $\mathbb{Q}$ 上 Galois な中間体とすると、制限写像 $G \to \mathrm{Gal}(M/\mathbb{Q})$ は $I_{\mathfrak{P}}$ を $M$ の素イデアル $\mathfrak{P} \cap M$ の惰性群の上へ移す。また $i \ge 0$ と $H = \mathrm{Gal}(K/M)$ について、 $K/M$ に関する $\mathfrak{P}$ の第 $i$ 分岐群は $G_i(\mathfrak{P} \mid p) \cap H$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 302 件、定義なども含めて 338 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 分岐指数と剰余次数は塔で乗法的✓補題 2.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
    Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
    整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
    一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
  - 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
  - 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待（上で展開済み）
  - 設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
ℚ 上不分岐な拡大は自明✓補題 7.1・円分体と Kronecker–Weber の定理
- 判別式の下界✓系 4.4・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
  - Minkowski 限界✓定理 4.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界この先をたどる →
- 判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 分岐する素数は判別式を割る✓定理 6.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 有限体のトレース形式✓補題 6.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元（上で展開済み）
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  - 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 3 件

順分岐の除去✓補題 7.4・円分体と Kronecker–Weber の定理
次数 p の巡回体の共役差積✓補題 7.5・円分体と Kronecker–Weber の定理
p だけで分岐する次数 p の巡回体の一意性✓補題 7.6・円分体と Kronecker–Weber の定理

惰性群の生成と制限

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件