Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する

補題 3.1（「分解群・惰性群・Frobenius 元」§3）・ ✓公理まで証明済み

2.1 節の設定（ $A$ は商体 $K$ の標数が $0$ で剰余体が有限な Dedekind 整域、 $B$ は $n$ 次拡大 $L/K$ における $A$ の整閉包）で、 $L/K$ を Galois 拡大、 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ 、 $\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとする。 $G$ は $\mathfrak{p}$ の上にある素イデアルの集合 $\{\mathfrak{P}_1, \ldots, \mathfrak{P}_g\}$ に推移的に作用する。したがって分岐指数と剰余次数は $i$ によらず（ $e$ 、 $f$ と書く）、

\mathfrak{p}B = (\mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g)^e, \qquad efg = n.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 168 件、定義なども含めて 184 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待
  - 分離性の判定✓命題 6.11・多項式環と体の拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
    左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理この先をたどる →
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理この先をたどる →
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理この先をたどる →
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
設定から従う基本事実✓補題 2.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大（上で展開済み）
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
  - 分離拡大のトレース形式は非退化✓補題 6.3・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - トレースと最小多項式✓補題 6.2・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大
  - 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大この先をたどる →
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 6 件

分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
分解体・惰性体での分解✓定理 4.1・分解群・惰性群・Frobenius 元
中間体での完全分解・不分岐の判定✓系 4.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
Frobenius 元の性質✓命題 5.2・分解群・惰性群・Frobenius 元
相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
完全分解する素イデアルの密度✓定理 9.1・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数

Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 6 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 6 件