準同型の基本性質

$f \colon G \to H$ を群準同型とします。このとき次が成り立ちます。

1. $f(e_G) = e_H$。
2. すべての $x \in G$ に対して $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$。
3. すべての $x \in G$ とすべての $n \in \mathbb{Z}$ に対して $f(x^n) = f(x)^n$。
4. $x \in G$ の位数が有限な $n$ であれば、$f(x)$ の位数は有限で $n$ の約数である。
5. $K \le G$ ならば $f(K) \le H$。また $L \le H$ ならば $f^{-1}(L) \le G$ であり、さらに $L \trianglelefteq H$ ならば $f^{-1}(L) \trianglelefteq G$ である。