準同型定理（第一同型定理）

定理 5.1（「群の準同型定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$G$ 、 $H$ を群、 $f \colon G \to H$ を群準同型とし、 $N = \operatorname{Ker} f$ とおきます。このとき $N \trianglelefteq G$ であって商群 $G/N$ が定義され、写像

\bar{f} \colon G/N \longrightarrow \operatorname{Im} f, \qquad \bar{f}(xN) = f(x)

は代表元の取り方によらずに定まり、群同型写像となります。すなわち

G/\operatorname{Ker} f \;\cong\; \operatorname{Im} f .

さらに $\pi \colon G \to G/N$ を標準全射、 $\iota \colon \operatorname{Im} f \hookrightarrow H$ を包含写像とすると、 $f = \iota \circ \bar{f} \circ \pi$ が成り立ちます。特に $f$ が全射ならば $G/\operatorname{Ker} f \cong H$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理

これを使っている定理証明で参照している 8 件

ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
可解性は部分群・商群・拡大で保たれる✓命題 6.1・群の作用と Sylow の定理
位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
準同型の分解定理（商群の普遍性）✓定理 7.1・群の準同型定理
第三同型定理✓系 7.2・群の準同型定理
分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
正則エピ射は全射✓命題 7.5・極限と余極限
K(S, n) の有限性✓定理 6.2・S 単数と Kummer 理論

準同型定理（第一同型定理）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

関連するノック 5 問

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