数学 › 代数学（群・環・体） › 群の準同型定理

位数の分解

系 5.2（「群の準同型定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$G$ を有限群、 $f \colon G \to H$ を群準同型とします。このとき

|G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f|

が成り立ちます。特に $|\operatorname{Im} f|$ は $|G|$ の約数です。さらに $H$ も有限群ならば、 $|\operatorname{Im} f|$ は $|H|$ の約数でもあります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理（上で展開済み）
- ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
- 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
- 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

トレースとノルムの基本性質✓定理 4.2・有限体上の多項式
Hilbert の定理 90（有限体）✓定理 4.3・有限体上の多項式
平方元の個数と 2 個の平方和✓命題 6.1・有限体の構造
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
K(S, n) の有限性✓定理 6.2・S 単数と Kummer 理論

関連するノック 3 問