数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

平方元の個数と 2 個の平方和

命題 6.1（「有限体の構造」§6）・ ✓公理まで証明済み

$q$ が偶数なら、 $\mathbb{F}_q$ のすべての元は平方元（ある $b$ により $b^2$ と書ける元）である。
$q$ が奇数なら、 $\mathbb{F}_q^{\times}$ の平方元はちょうど $(q - 1)/2$ 個で、 $0$ を含めると平方元は $(q + 1)/2$ 個である。
$\mathbb{F}_q$ のすべての元 $c$ は、ある $a, b \in \mathbb{F}_q$ により $c = a^2 + b^2$ と書ける。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
    群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 1 件

平方指標の性質✓補題 6.3・有限幾何とデザイン