イデアルのノルムの性質

命題 5.3（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§5）・ ✓公理まで証明済み

相異なる素イデアル $\mathfrak{P} \neq \mathfrak{Q}$ と $a, b \ge 1$ について $\mathfrak{P}^a + \mathfrak{Q}^b = \mathcal{O}_K$ 。
素イデアル $\mathfrak{P}$ と $e \ge 1$ について $N(\mathfrak{P}^e) = (N\mathfrak{P})^e$ 。
$N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N\mathfrak{a}\,N\mathfrak{b}$ 。また $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ について $N(\alpha\mathcal{O}_K) = |N(\alpha)|$ 。
$N\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 58 件、定義なども含めて 68 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
    有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
    正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理（上で展開済み）
  - ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 単射性の判定✓命題 4.4・群の準同型定理
    準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
    ファイバーは核の左剰余類✓補題 4.3・群の準同型定理（上で展開済み）
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理
    群準同型写像定義 3.1・群の準同型定理
  - 同型写像と同型定義 3.2・群の準同型定理
- 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理
  - 準同型の基本性質✓命題 3.3・群の準同型定理（上で展開済み）
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解
    ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理この先をたどる →
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 埋め込みの個数✓補題 3.1・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 相似不変量✓命題 2.2・対角化とジョルダン標準形この先をたどる →
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類
  - 左剰余類の基本性質✓補題 5.2・部分群と剰余類この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 11 件

p = x² + ny² と Hilbert 類体△系 8.3・類体論
相対ノルムの性質✓命題 7.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
Euler 積と対数✓補題 3.4・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
イデアル類ごとの整イデアルの個数✓定理 4.5・Dedekind ゼータ関数と Dirichlet の L 関数
素数の ℤ[ω] での分解✓補題 2.3・リーマン予想 III
Hecke L 関数の Euler 積✓補題 2.5・リーマン予想 III
整イデアルの余体積✓命題 3.2・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
類数の有限性✓定理 4.3・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
ガロア拡大での分解✓定理 5.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
判別式を割る素数は分岐する✓定理 6.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

イデアルのノルムの性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 11 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 11 件