素数の ℤ[ω] での分解

補題 2.3（「リーマン予想 III」§2）・ ✓公理まで証明済み

$p$ を素数とし、 $\chi_{-3}$ を法 $3$ の主指標でない Dirichlet 指標（ $\chi_{-3}(n)=1,-1,0$ が $n\equiv1,2,0\pmod3$ に対応）とする。

$p=3$ : $3\mathcal{O}=(\lambda)^2$ 。 $(\lambda)$ はノルム $3$ の素イデアル（分岐）。
$p\equiv1\pmod3$ : $p\mathcal{O}=\mathfrak{p}\mathfrak{p}'$ 、 $\mathfrak{p}\ne\mathfrak{p}'$ はノルム $p$ の素イデアル（分解）。
$p\equiv2\pmod3$ : $p\mathcal{O}$ はノルム $p^2$ の素イデアル（惰性）。

$\mathcal{O}$ の $0$ でない素イデアルはこれらで尽くされる。したがって $p\ne3$ について、 $p$ の上の素イデアルの個数は $1+\chi_{-3}(p)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 85 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

二次体での素数の分解✓命題 8.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 代数的整数の最小多項式✓命題 2.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
    整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
    加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
    ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解この先をたどる →
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- Kummer–Dedekind の判定法✓定理 7.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類（上で展開済み）
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 基本等式✓定理 5.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
    イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- ルジャンドル記号定義 3.2・原始根と平方剰余の相互法則
ルジャンドル記号の性質✓系 3.4・原始根と平方剰余の相互法則
- オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則
  - 素数を法とする根の個数✓補題 2.3・原始根と平方剰余の相互法則
平方剰余の相互法則（ガウス）✓定理 5.3・原始根と平方剰余の相互法則
- アイゼンシュタインの補題✓補題 5.1・原始根と平方剰余の相互法則
  - ガウスの補題✓補題 4.1・原始根と平方剰余の相互法則
    ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
    オイラーの規準✓定理 3.3・原始根と平方剰余の相互法則（上で展開済み）
- 格子点の数え上げ✓補題 5.2・原始根と平方剰余の相互法則
分岐指数・剰余次数・イデアルのノルム定義 5.1・代数体の整数環と Dedekind 整域
イデアルのノルムの性質✓命題 5.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 位数の分解✓系 5.2・群の準同型定理
  - 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
  - 核と像の基本性質✓命題 4.2・群の準同型定理この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
  - トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Hecke L 関数の Euler 積✓補題 2.5・リーマン予想 III
ノルムと合成した指標の L 関数の分解✓命題 4.2・リーマン予想 III

素数の ℤ[ω] での分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件